概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解.docx
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征练习题与答案详解(答案在最后)1 .假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均.2 .100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差.3 .设随机变量X的概率密度为P(X)=ge"",(-<X<)试求数学期望欧及方差OX.4 .已知随机变量X的分布函数为0»x0»F(X)=,X>O<X4»41,X>4,试求X的数学期望方差DX.5 .对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在4U内，求圆面积的数学期望.0X,2其它，6 .设随机变量X概率密度为COSX,x(%)=,0,试求随机变量Y=X2的方差Dy.7 .设随机变量J只取非负整数值，其概率为P=k=,>0是常数，(J(1+)u,试求造及火.8 .设独立试验序列中，首次成功所需要的次数J服从的分布列为:123Pipqpq?pq-p其中4=1_P，求4的数学期望与方差.9,若事件A在第i次试验中出现的概率为p,设是事件A在起初n次独立试验中的出现次数，试求劭及功.10 .随机变量。独立，并服从同一分布，数学期望为,方差为2,求这些随机变量的算术平均值孑=1t多的数学期望与方差.,2=111 .设是事件A在次独立试验中的出现次数，在每次试验中P（4）=p,再设随机变量视取偶数或奇数而取数值0及1,试求E"及D'712 .设随机变数J之概率分布如下：-368Pe=Q2j_623求：(1)f2+12;(2)E(-E)2.13 .随机变量X/(x),f0X1f(x)=-2-t1<X<2,0,其它，试计算EX"(为正整数).14 .随机变量X5（%p）,Y=e"X,求随机变量K的期望和方差.15 .某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点.规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8兀，4个以上者为废品，求：产品的废品率；（2）产品的平均价值.16 .一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为5,10,15,20,25厘米，假定射击时弹着点的位置为（Z,y）,Z为弹着点到靶心的距离，且（Z,y）服从二维11+正态分布，其密度为f（x,y）=-!e,现规定弹着点落入最小的圆域为20（k5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：一次射击的平均得分；（2）弹着点到靶心的平均距离.17 .若J的密度函数是偶函数，且EJ2<8,试证何与看不相关，但它们不相互独立.18 .若孑与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立.答案详解1. 每个生日在第一季度的概率是p=1.设X表示三个人中生日在第一4季度的人数，则X服从二项分布f3,-1从而X的平均为E(X)=3×-=-I4；44452. EY=O.5,DX=1103. 1eTM为偶函数，x为奇函数，所以，由积分性质知22EX=J.gTMdx=O(奇函数在对称区间上的积分值为零)DX=x-E(X)2Px(x)dx="x½'1=2e"vckpgCCOOr8Yc=o(-x2)dx=(-x2x)0+o2xe-xdx=2XeTdX=244. EX=2,DX=-35. 设圆的直径为随机变量X,圆的面积为随机变量匕则y=(X)=-x2,随机变量X的概率密度为，a<xb,px(x)=<b-a，0,其它，于是E(Y)=E(f(X)=J)(X)PX(x)dx=£dx13b.2,z=%=(a+ab+h-)12b-aa126.DY=20-22OO7埼=ZhK=O(1+产令一-=P，贝IjO<<1且(1+/EkPk=P(EPIy=Mq=1A=I1a-PP(I-P)2故塔=1+f1(1=a)2采用同样的方法并利用EJ=a得E2=-1+4Z18-0+1k-Ykpk1+白+T卒(5(沙+P2A=I2+4(1_P)+a(1-p)3=Q+f1cOq=EJ2_修)2=3+2/)-/=q(1+a)8.9.Eg=1D&=4PP设/Z="1+42"*，其中1,若第i次试验4出现0,若第i次试马初出现则劭=ZE从=ZP由试验独立得诸4相互独立，从而知DN=ZDJ11i=ZPi(I-Pi)-210. E=yD=n11. 事件A出现奇数次的概率记为匕，出现偶数次的概率记为。，则O=C)P(V+C)2产+,=c><,+c>V-3÷.利用+人=(p+q)"=1,-b=-p),可解得事件4出现奇数次的概率为b=1-(q-py=-(i-2pyf顺便得到，事件A出现偶数次的概率为=g+g(1-2p)".服从两点分布，由此得，P=1=尸事件A出现奇数次=g-T(1一2p)",P=尸事件A出现偶数冽=(1-2p)n,所以，D=-(-2pY11+1(1-2p)z=1-1(1-2p)2w.12. (1)117；(2)413. EXn=x,f(x)dx=x,'xdx+fxn(2-x)dvJ-00JJ1x"+21”+n+22=+(2)+20w+1/2+212"+22"+2212"+22-+(H)=+2«+1n+2+1n+2(w+1)(+2)14. EY=q+pea)nfDY=(q+pe2a)n-q+ea)2n15. (1)0.0014；(2)9.616. (1)3.007；(2)52-17. 设/(x)是J的密度函数，则f(-)=(x),由f(x)是奇函数可得Eg=O,从而EE=0.又由于X1R/(x)是奇函数及心2<oo,得E=J：MAX）改=。=转目百，故因与S不相关.由于J的密度函数是偶函数，故可选c>0使得当0<Pg<c<1时，也有OvPj<c<1,从而可得P皆<cpgVdHW<c=%<GIg<c,其中等式成立是由于也<du<c,由此得用与J不独立.18. 设第'",MaQ作两个随机变量(P1JmQ1).(a-b1O).(c-d,OA=-b，=-d,5，qj出，Qi)由J与不相关即E=EEWE*=E-b-d+bd)=EE-bE-dE+bd=E-b)E-d)=E*E,而Egrf=(Q6)(C-d)P*=a-h,=c-d>E4E=(a-b)P=a-b(c-d)Pf=c-df由上两式值相等，再由(-b)(c-d)WO得P,=a-b,=c-d=P*=a-bP=c-dt即Pe=。，z7=c=P=4zP77=c.同理可证P=a,=d=P=aP=d,P=b,=c=P=bP=c,P=b,=d=P=bP=d,从而J与独立
