应用时间序列分析模拟试题.docx
时间序列分析课程考试卷一、填空题(每小题2分，共计20分)I1ARMA(p,q)模型xt=+。IxfTHpxt-p+£-，£_14与-夕,其中模型参数为p，q。2 .设时间序列Xj,则其一阶差分为Vx,=茗3 .设ARMA(2,1)：X1=O.5Xz.1+0.4Xz,2+与一0.3£小则所对应的特征方程为2-0.5-0.4=0o4 .对于一阶自回归模型AR(I):X,=10+。Xi+5，其特征根为,平稳域是彷帆<注：平稳性判别：1)特征根判别法：特征根的绝对值小于1；该题中特征根等于0,故平稳条件为bM<°(系数多项式的根在单位园外)2)平稳域判别法：AR(1)模型：,M<1AR(2)模型.如人I网V1,且。2±。1V15 .设ARMA(2,1):X,=0.5X+X.2+与一°弓.1，当a满足d<1,±05v1时，模型平稳。6 .注：AR模型平稳(系数多项式的根在单位园外)；MA模型可逆(系数多项式的根在单位园外)：7.Pk=1对于一阶自回归模型MA(1):X,=弓-0.31,其自相关函数为注:1,-4+fqai=1q+Z4=10,k<qk>q1,A=O-0.31.,k=11.090,k28.对于二阶自回归模型AR(2):X,=0.5X+0.2%+弓则模型所满足的Yu1e-Wa1ker方程是=1k=1PPqwk=PPqi+Pn.CP1=P11+P2Pk=EaPJ2.由于AR模型的日故对于AR(2)有1,=0k=进而PkhPk-+020-2,%N21,k=00.5PaT+0.2Ph2，kN29 .设时间序列Xj为来自ARMA(P,q)模型:Xr=嫉XrT+1+0pX.p+与+6©T+1+耳/则预测方差为_"皿=a"Eg)=O,%r(eJ=O,E(,s)=st10 .对于时间序列Xj,如果一EXSJ=QDs，则X,(d)°(B)Vjx,=(B>,注：ARIMA(p,d,q)Mj)=O,%r(与)=近,凤££)=。，SHfExst=0,5<t11 .设时间序列Xj为来自GARCH（p,q）模型，则其模型结构可写为.。为二/G，X1，演-2，一.，）+1P&7=+7-,+Vj/=17=1得分二、（10分）设时间序列Xj来自AM4（2,1）过程，满足（1-B+0.5B2）Xz=（1+0.48）与，其中石是白噪声序列，并且E（t）=O,Var（1）=2.（1） 判断A/?M4（2,1）模型的平稳性。（5分）±T±特征函数为X-x+05=0,特征根为22,在单位圆内，平稳也可用平稳域法见一（4）（2） 利用递推法计算前三个格林函数GpG,G2°（5分）GO=I匕=1?；Gj-aIGO=IG=RGo-x=1-（-0.4）=1.4G2=G+岭0-%=1.4-0.5-0=0.9求格林函数也可以用算子一1十0.43G=Q+0闻+®_o.5B2）'+（B-0.5B2）2÷）1B+0.53=（1+0.4bX1+B+0.5B2+）=1+1.4B+0.9B2+JaA三、（20分）某国1961年1月一20XX年8月的1619岁失业女性的月度得分数据经过一阶差分后平稳（N=500）,经过计算样本其样本自相关系数pk及样本偏相关系数血J的前10个数值如下表kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00求（1）利用所学知识，对X,所属的模型进行初步的模型识别。（10分）样本自相关系数I阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA（0,1,1）2（2）对所识别的模型参数和白噪声方差Cr给出其矩估计。（io分）P_"由于ARIMA（0,1,1）模型有1+夕：入1+J14p11+J1+4x0.477.=24-2x0.47=0.645得分四、（20分）设XJ服从ARMA（1,1）模型:X1=0.8X.+6'-0.61,a；=0.0025I«II<IS其中XnX)=O.3,与Oo=O.01。（1） 给出未来3期的预测值；(10分)XOO(I)=0.8XK)OO.fe1oo=0.234X100(2)=O.8X1oo(1)=0.8×0.234=0.1872Xioo(3)=0.8XOo(2)=0.8X0.1872=0.14976（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间（975=196）。（10分）X1=106g=(1+0.2B+0.16B2+k10.83'广'G0=IG1=0.2,G2=0.16v4()=2;由于/=°WfG00(1)=0.0025W/fG00=O.OO26%rfGoo(3)=0.00266/95%的预测区间too(/)+“0.975Jvh也oo()101(0.136A332)102(0.087,0.287)103(-0.049,0.251)得分五、(10分)设时间序列X,服从AR(I)模型：Xt=(I)Xj+乐,其中4为白噪声序列，E(4)=0,%r(et)=b2,马(为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数。,b?的极大似然估计。卒ER+，+外=可Inm=-In（I-犬）XgTx=x2+x-2r1x2似然方程组nx,1xn才YY=O-,x22入2.2;2a：iain1gn-12i-2xix222-2六、(20分)证明下列两题:(1) 设时间序列xj来自A例(1I)过程，满足七一0.5为_I=马一0.25£小,其中与WN(,2),证明其自相关系数为1,k=0pk=-0.27k=1(10分)0.50Tk2y()4Gq=1+反能=1+城,圭=1+ryz二J=O/=1/Nj=INN1UND1乙710(Z)=t，k1“'J132"(2) 若X1(0),Y1-I(O)f且X,和化不相关，即CoU(X，*)=0,。小。试证明对于任意非零实数。与力，有Z/=aX,+/?Z/(O)。(10分)证明：因为小"°),所以；e(xz2)<E(y)<jMx)=%;Mz)=4x(t,s)=x(t+k,s+kt,syt+k,s+kGT(t,s)=(t+k9s+kt9s,t+k,s+keTZt=aXt+bXtMZ)=E(aXt+bXt)a1+b1E(Z；)=E(a2x：+/y2+2abXtYt)a2E(X；)+b2E(Y)+2%闰阿丽)rz1(i,s)=E(aXt+bYt-at-b1aXs+bYx-ax-b)=a2x(t9s)+b2(t9s)+abCoV(Xr,Ys)+abCo>(X$,匕)=a2x(t9s)+b2(t9s)1 所以，z(£，S)=z(f+4,s+九)',s"+1s+4wT2 .设时间序列Xj,当-V%MV1=6,*)T'",VrZ,Vx=(x,X"J,e(x)=G+r(x),序歹UXj为严平稳。3 .AR(P)模型为了=°。+加入+勿4。+£_,其中自回归参数为/。曲乩_。4 .ARMA(P,q)模型芭=破)+私与+内西-p+4与-3r,其中模型参数为p，qo5 .设时间序列Xj,则其一阶差分为一巧二七一七-1。6 .一阶自回归模型AR(I)所对应的特征方程为一“-O=°o7 .对于一阶自回归模型AR(1),其特征根为一，平稳域是一_o1,A=O一eJ1A=寸A=I8 .对于一阶自回归模型MA(I),其自相关函数为10,A2。=Z1/O=1izr=14I-1s+÷41-qO<一q-A>A<一49 .对于二阶自回归模型AR(2):X,=域X-+AX-+与，其模型所满足的YUeWaIker方程是.。22-2TAr=0”+1-¢2«P1=PO(K+P022P2=P2+Po221+廿含%+赧pk=EaPkT2.由于AR模型的I故对于AR(2)有012->-2一，心自1必I+="/0=A9.设时间序歹IJX1为来自ARMA(p,q)模型：X1aXT+1+%X.p+户rt+1+q&r,则预测方差为Vaie1(1)=YjGfZ=O10.设时间序列X,为来自GARCH(p,q)模型，则其模型结构可写为X；=(VpV2s)+<%=柄石pq¼=+7-1+Vj/=1J=I得分八、(20分)设Xj是二阶移动平均模型MA(2),即满足X1d+%；2,其中,是白噪声序列，并且£(与)=0,(弓)=b2(1)当仇=0.8时，试求Xj的自协方差函数和自相关函数。(1+夕2卜2欢=0俐=E(X1X1J=E(g+"21=k=20,其他(2)当仇:0.8时，计算样本均值(+*2+乂3+*4)/4的方差。勿比+(1+。匕2+。4+£+q)=b21±f±f：4164得分九、(20分)设XJ的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84,试求(1) 样本均值M。0.758(2) 样本的自协方差函数值力,力和自相关函数值立,方2。(3) 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由Yu1e-Wa1ker方程P=+。2夕1<p2=1p1+2人人人2=-p1=-0.186492=p2p;=0.0809081一月,I-Pi4=(1J一翅=0.83803Xt=0.83803-0.1864+0.080908cr-2得分十、(20分)设X,服从ARMA(1,1)模型：X,=0.8%«+0-0.6/其中Xo=0.3,4X)=O.01.(1) 给出未来3期的预测值；(2) 给出未来3期的预测值的95%的预测区间。2其中与为白噪声，E(G)=O,以汽与)=b证明：Var(Xt)=1一行x,=0=(1+照+0/+”-D+=82Var(Xt)=2jG7=T-»=012 十二、单项选择题(每小题4分，共计20分)(a) MA(1)(c)AR(2)(b) ARMA(1,1)(d)ARMA(2,1)4 .时间序列模型建立后,将要对模型进行显著性检验,那么检验的对象为残差序列,检验的假设是_残差序列是白噪声一。5 .时
