三大曲线与曲面积分自测题.docx
第一套一、填空题（3X4=12分）1 .设1是从点(1,1)到(2,3)的一条直线，则Jjir+7)dz+(Ir-y)dy=.2 .设1是圆周:T=cos±,y=asine(0£2入).则，(M+j>2)3dS=.3 .设为曲面/+/+/=1，则fix2y1zydS=.4,向量场A=(2z-3y)i+(3x-z)J+()-2工)上的旋度TOtA=.二、选择题（4X3=12分）A)B)ZcxJ1J11.设“）连续可导，1为以原煮为心的单位圆，则必有.x2+y2)(xd,r+ydy)=O;2+y2)(xdj÷ydx)=O;(C) +y2)(dx+ydy)=O;(D) /(j2+y2)(xdx+dy)=O.2.设是球面i+J+/=j的外侧，Di2+2,则必有.(A)§z2dxdy=20(2-x2-y2)dxd;%(B)。z2djrdy=O;(C) (，z3dxdy=3J(a2-1-y2)djrdj;1xy(D) (Iz3dxdy=03.物质曲线沿C：1t,y=9,z=(OzD分布，其线2J密度M=与，则它的质量为.(A)1tJ1+A+，4&；(B)f1J1-A+Jck5JoJO3,设2为锥面Z=Jx÷y2被平面=1和z=2所截得部分的下侧，求JJ浮4.设2为曲面z=i+/被平面Z=I割下的有限部分，求QIyzfdS.5.÷)(f÷1)ci+=.四、综合题(8X4=32分)1 .求(e*siny-my)+(ecosjm)dyf式中ANo为由ANo点A(,0)至点。(0,0)的如图72所示的上半圆X2+y2x(>0).2 .求2Hz2dyd?+y(z2+Ddzdz+(9-z3)dxdyt式中Z是曲面ZNN2+(1z2)的下侧.3 .求Q-(x4÷÷)dS,:4求椭圆柱面卷+/=1位于ZQy面上方和平面Z=y下方部分的侧面积.，一五、证明题(7X2=14分)1设函数f(%)在(-8,十8)内具有一阶连续导数，1是上半平面6>0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(*b)9终点为(c,d),记1+阴(川小+学才孙(1)证明曲线积分1与路径1无关；,(2)当ab=cd时，求，的值.2 .设P(n.”z),Q(n,y»z)>R(,y,£)连续，M是口+Q,设£为曲面z=2-(+y2)在Noy面上方部分，则=E.(A)fdrJ1+4rdr;(B)fdfr/1÷4r2dr;JoJqJOJoTp的最大值,Z为光滑曲面，其面积为S,试证：PdydN÷Qdzdx+RdJrdyMS第二套一、填空题(3X4=12分)I,设C为/+J=q2在第一象限内的部分，则fe777ds2 .设C为抛物线3=/从点(0一j2)d*=.3 .;j-2+÷=K贝。4 .向量场4=(/+jN)t+(ydivA=.二、选择题，(4X3=12分),0)到(2,4)一段弧，则(2Sd7N÷+2+ry)fc的散度dS2已知曲线C/+六1逆时针方向一肌则，沙詈(A)O;(B)2;(C)-2;(D),3 .已知为平面+z=1在第一卦限内的下侧曲面，则(C) (X2十/2+z)jdy=.(D) jdyj(了+9一)+1)也;(E) -Jdxj(2+j72+z)dy三、计算题(6X5=30分)1 .设C为曲线2x=从0(0,0)到B停1)的一段弧，求J(23_-y2cosjr)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy,c2 .设1为圆周“+，(a>0)f求3 .设C为圆周i+J=J逆时针方向一周，求y2dy_jc2ydx4设E是球面*2+/+/=1外侧在1>0,y>0的部分，求Xyzdxdy95.设为曲面N=与平面Z=I所围成立体的表面,求U(y+/NS.四、综合题(4X3=12分)1设连续可导，求j+$1y2f(.H,)-1dy式中C是从A13,金到B(1,2)的直线段.DJ2求U"(2，3，z)+zdyd之+2f(c,y,z)+ydzdx÷/(n,V,)÷zdxdy式中以小幻为连续函数，为平面Z-)+名=1在第ID卦限的上侧.3,设F(E)=x2dydz+y3dzd+zyddy9其中A(E)为球面，+/+/=/外侧，求f'(e)(E>0)4.设有一半球面2=JM一工2一J,其上点的面密度与点到N轴的距离平方成正比，比例系数为15,求对于Z轴的转动惯量.五、证明题(7X2=14分)1 .设P(Hy),Q(a»)具有连续的一阶偏导数，M是尸苫的最大值，1为光滑曲线C的长度,试证：；(,y)dx+Q(N,y)dy1M2 .设(a?),OG,G在有界闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑曲线1为。的正向边界曲线，试证：第三套一、填空题(3X4=12分)1 .设1是圆：#+/=不逆时针一周则吗：吁2 .设Z：'Z?+丁+/=/则g(r+z1)2dS=.3,设2是长方体A=I(Z,ytN)Io4.0j,0zWC1的整个表面的外侧，则x2dydz+y2dzd+z2dxdy=.4 .设1是从A(1,0)到5(0,1)的直线段，贝1|匕(彳+3九$=二、选择题(4X3=12分)1单连通区域G内P(h,y)，QG,y)具有连续的一阶偏导数，则曲线积分1PdI÷Qdy与路径无关的充要条件是.(A)在G内有一闭曲线九使Pdz+Qd)=O;Z(B)在G内恒有六宗=安法;yoyx(C)在G内有另一曲线C,使Pd1+Qdy=fPd1r+Qdy;J1JC(D)在G内恒有养=手.oxoy5 .设2为平面壬+字+于=1在第I卦限内的部分，则2%J4串4广3JDdS=(A)4Qr3(1-)djrIdy;(B)Jq.JO(C)号可罔：必(D)2dx03,设E是/+/+之2=02的上半球面上侧在求1用22xyz+*dzd%+之d*dy)时，需要补充曲面后使工+y+NGaUSS公式，下面补法正确者为.(A) 1:z=0(i+2)取下测；(B) 1+2,其中Xi：N=O(I2+32)取下侧，£2；以原点为心的单位球面上半部分取下侧；(C) 1:工2+/+/=/下半球面下厕；(D) 1Z=O(N2+y2)取上厕,三、计算题(6X5=30分)1.求yds,式中篇为圆/+J=q2位于第一象限内的弧*AB段，坐标为A信，§J,B(0>a).2,求$3)<hr-1Ndy+尸2加，式中F是圆周?.Jrz=2若从Z轴正向看去，取逆时针方向.3 .求$(IrI+Iy1)2dS,式中Z是八面体III+I，I+IgI1的表面.4 .求A(2+)dydzdxdy,式中W是抛物面W=，(/+丁)介于平面Z=O和N=2之间部分的下侧.5 .求÷y2,ddz+z1ddyf式中Z是球面(7-q)2+G-6)2+(z-c)2=jR2的外侧.四、综合题(8X4=32分)1-求柱面工3+»3=1被球面工24J+之2=所截下部分的面积.2 .设变力FyzizxjKyk作用质点从原点到椭球面'+a孑十号=1上第I卦限中点M(£,hC处，问仇外g取何值时,力F所做的功W取最大值？3 .求面密度为po,均匀抛物面壳=(x2+y2)(02)对于Z轴的转动惯量.4 .求向量场A=/2上一2232N，之穿过曲面2:X2÷(±-Ty-Tz)/+/=J外侧的通量.五、证明题(7X2=14分)1 .设G是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭曲线，对于它所围成的区域D来说取正向，试证：(f吟丁”=2.J12R+y2 .设2是有界闭区域的光滑边界曲面，函数U在O上有二阶连续偏导数，“=碧+菖+碧，普为U沿Z外法线方向的xdy1aZdr方向导数.试证：ISds=JJAudw第四套一、填空题(3X4=12分)1 .设1i""'+'=/,则S(12+/+/粒=KyA-Z-a£(工2+2+2=12 .设1是圆周'在第一卦限从A(1,0,0)到1Iy=之EN去目的一段,则3 .设I：i+y2+/2=r2,则JdS=.4 .设为柱面/+J=I在第一卦限中(0z)的前侧，则zxdydz=二、选择题(4X3=12分)1 .设1W4=i,则|丁尹bJ1H+夕2 .设是锥面N=尸三(0N1),则Q(i+J)dS=(A)dCr2rdr;(B)CeCr2rdr;JOJeIJOJo(C)-/1dr2rdr;(D)/2fdjfr2rdr.JoJoJOJO3.设2：/+尸卜/=1，Si：Z="T-j,当用于对坐标的曲面积分时，取外侧，取上侧.下面运算正确的是1.设1：；=丁=弋试求铲ds.2设1是(Z-D2+6-1)2=1的上半部分，取顺时针方向.求I1JX1+y2<iz+r+y1n(j十工。+)dy3 .设Z是柱面t2+j72=Z?2介于平面Z=O和z=h之间的部分，求口(z+y/+dS.4 .求JJX-yAydz+)一竽dzdx+之一才ddy,其中是六面体0z*0/6,Ozc的外表面,5 .求kd吁受居处,其中£是上半球面Z=J(工十)+名)'1P-Z匚，的上侧.四、综合题(8X4=32分)1 .求线密度为常数"的心脏线r=a(1+co56)(0<0<2Q的重心坐标(1,y).72+2,=22 .求线密度为常数A的圆环1：/一对于质量为mIW=O位于P(0,0,b)(8>0)的质点的引力F3 .求面密度为常数的锥面壳：宅+看-三=0(0z6)aab对于直线:=J=?吆的转动惯量.4 .求向量场A=zi十炉+zfc穿过抛物面Z=I-(X2-y2(上侧曲面，z>0)的通量.五、证明题(7X2=14分)1 .设1是逆时针方向的圆周：(x-)2+(j-)2=i52,工)是恒正的连续函数,试证：，xf(y)dy-22ItR22 .设F(1,y1N)=O满足养+募+=°，试证：”表STi2÷)2÷()
