2对偶空间.docx

§2对偶空间设V是数域P上一个维线性空间.丫上全体线性函数组成的集合记作1(V,P).可以用自然的方法在1(KP)上定义加法和数量乘法.设fg是V的两个线性函数.定义函数/+g如下：(f+g)=()+g(),aV./+g也是线性函数：(/+g)(+)=f(a+-)+g(+B)=f()+/(夕)+g()+g()=(+g)(a)+(f+g)(),(/+g)伏)=f(ka)+g(Z)=kf(a)+kg(a)=k(f+g)()./+g称为/与g的和.还可以定义数量乘法.设/是V上线性函数，对于P中任意数上，定义函数V如下：(kf)(a)=kfa),V,灯'称为k与/的数量乘积，易证Zf也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，1(KP)成为数域P上的线性空间.取定V的一组基与,冬，%，作V上个线性函数力,力,J.,使得E(J)=W；'i,j=1,2,，n.(1)因为力在基4,4，%上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V中向量=Z天4，有»=1fi(a)=xi,(2)即力()是a的第i个坐标的值.引理对V中任意向量,有=tf(网，(3)i=而对1(KP)中任意向量了,有f=Wfi(4)1=1定理21(匕尸)的维数等于V的维数，而且九人，J是1(KP)的一组基.定义21(Pw)称为V的对偶空间.由(1)决定1(KP)的的基，称为与,4,的对偶基.以后简单地把丫的对偶空间记作V”.例考虑实数域H上的维线性空间V=Px“，对任意取定的几个不同实数外,生，。”，根据拉格朗日插值公式，得到个多项式(x-Q)(x-%)(x-q+)(x-a).Pi(X)=；r-1÷iiH-7,，=1,2,，几(ai-a1)-(ai-aj=i)(ai-ai+)(-an)它们满足=i：i,/=1,2,1O,7GP1(x),P2W,pt,(x)是线性无关的，因为由C1P1(X)+C2p2(x)+CrtPrt(X)=0用生代入，即得ZqA(%)=GPP(%)=/=°,i=1,2,A=I又因V是维的，所以P1(X),2(幻，,2(x)是V的一组基.设乙V(i=1,2,，)是在点的取值函数：WP(X)=p(q),P(X)v.=,2,几则线性函数4满足1i(Pj(X)=Pj(%)=i,/=1,2,几因此,右,4，,1是P1(X)，2。)，。)的对偶基.下面讨论y的两组基的对偶基之间的关系.设VZ是数域P上一个维线性空间.与,/，%及7，%，刃是V的两组基.它们的对偶基分别是九力,J0及g,g2,g,再设81，电，力n)=C,%,，4)A(g,g2,g")="J2,)8其中(a«12J(bh./?、2nA=a2a22a2n,B=”21人2282”anan2,1ann>4hn2总由假设i=aiia2i2+”,/=1,2,gi=%f+b2jf2+,，+bnjf,7=1,2,因此gj(7)=%&百+a2>2+%,%)Jk=I=%即+与必,+九4=In./,7=1,2,0,z7,由矩阵乘法定义，即得B,A=E即B'=AT定理3设与,邑，%及7,%，%是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为力,2，Z1及g1*2，g”如果由与，/，普到彷，2,，办的过渡矩阵为A,那么由九人,J“到g,g2,g的过渡矩阵为(A')，设V是P上一个线性空间，V,是其对偶空间，取定y中一个向量定义V*的一个函数Jr如下：(f)=f(x),fev根据线性函数的定义，容易检验Jr是V*上的一个线性函数，因此是V的对偶空间(V)=V”中的一个元素.定理4V是一个线性空间，V”是V的对偶空间的对偶空间.V到V”的映射XX是一个同构映射.这个定理说明，线性空间丫也可看成V的线性函数空间，V与V'实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.