高数B第一学期综合测试题2答案.docx
高数B综合测试题2答案一、填空：(每题2分，共20分)1 .函数f(x) = arcsin-二的定义域为 1,为.2 .设 f(x) = (N + L 无则极限 Iim f(x)且 X = O为 /*)的2, x = 00可去型的间断点. 1 n3 .如果函数/(x) = IxSln”>。在(_8,+00)上连续，则。=_0_.z + x2, x 04 .设 y = ln(l + /)则 y"(°) =工.5 .设函数/可导，且己知y = /(cosx),则虫=-7'(cosx)sinx. dx / x , f X = arctanr ，办6 .设y = y(x)由49 确定,则一=1 .yt ÷r÷5 a”7 .曲线丁 = 2/ + 3/-121的拐点为(一8 .不定积分 f / d(Q > 0) = arcsin'+ C. j2-x2a9 .定积分sinXdx= 2 ,则函数y = sinx在区间,T上的平均值是10 .dx2 +1)10 = 20x3+1)9 dy d(x2 ÷ 1)'° = IO(X? + lj9 d(x2 +1)二、单项选择题(每题2分，共10分)1 .设卜,练,2均为非负数列，且IimXZJ=0,Iimy“ =1,IimZ“ =8,则必有(D ) oonA. X“<以对任意，成立；B. %< Z”对任意成立；C.极限IimX“z”不存在；D.极限IimyM”不存在.CCW002 .当x+8时,下列变量中为无穷大量的是（A ）A. ln(l + x);B.3.A.C.4.A.C.JX2 +1已知Iim/（x） = 5,则必有（B ）-*/（式）在X = XO处有定义；f（x）在X = RO处连续；4元一1曲线y=/ V （ C ） （I）?只有水平渐近线；既有水平渐近线也有垂直渐近线；C.B.D.B.D.D. xcosx./（6在X=/处有极限;/（X）在X = XO处可导.只有垂直渐近线; 没有渐近线.5.反常积分，±x= （ DA. O;B. + 8 ；C. 2三、计算下列各题（每题5分,共30分）sin X2. Iimx0In (1 + x)X解:原式=山2 U + 2x）田二解：原式=IimXTOX- ln(l + x)l. 6 Iim_ eOsin a=Iim.tOXIn(I+ x) X-In(I + %)1-=Iim .v0211 + x2x1Iimx0(l + x)213.已知y = tan(x+y)确定函数y = y(x),求心. dx解:方程两边对X求导，得y' = sec2(x + y)(l + y')V = -sec4x+5 = -CSC2 (x + y) tarr(x+y)4.求 JarCtan解：原式=JarCtanjm/(l + x)=(1 + x) arctan yx - f fl + x) ClXJ I + X 2Jx=(1 + x) arctan x - yx + C5、求 J。(1-s/ x)r解：原式= - sin2 XdCoSXIo解：/(I"11 + x1l + et2， Xx0,x< 0xlT， x< 1 ll÷e-',求 J"(x-皿.=£ (1 - cos2 x)dcos%原式力r小中X=ln(e +1)三、设/(x)在(-co,+oo)上连续，在X = O处可导,且有关系式/(x + y)= /(x)+(y)-vy,试判断 其它点处/(x)的可导性.(6分)解：令 = y = 0,易得 /(o) = O.设 VjrO W (-oo,-x), 0,由导数定义，ff(r 1 /U)+©-/(/) _ 1. /(x0) + /()-xox-/()4904ZhTOX1. f(x)-xtx 1.=Iim - = Iim2k0xO(zk)-(o)x- =r(o)-故函数/(x)在(-8,口)上处处可导,且广(X)= 7'(O)-X四、证明题(共12分)1、证明：方程SinX+ xcosx = 0在(,;F)内有实根.证明:令f(x) = XSinX ,则/(x)在, 上连续,在(0,乃)内可导,且/(0)= /(4)=0 由罗尔定理,mg (0历),使得/'G) = 0 ,即sin + cos = 0 故方程SinX+xcosx = 0在(,;F)内有实根.2、当x(0,l)时，证明(l + x)l2( + )<2 证明:令 g(x) = (1 + X)In 2(1 + x)-x2,() = O g'(x)= ln2(l + x)+21n(l + x)-2x,z() = O g (X)= - ln(l + x)-x,ff(0) = 01 + xg() =-羿专L,Xw(OJ)U + x)故可得g(x)单调递减,ga)vg(o) = o,g'(x)单调递减,g'(%)vg'(o) = o,g()单调递减, g(x)< g() = °，即有(1 + x)ln2(l + x)< X2五、求函数y = "在区间上的最大与最小值.(6分) 解:/ = 2xe-x + Vx (-l)= xe-(2-x)= 0,得驻点 X = O,戈=2比较 y()=G )'(o)=0，丁=3，丁=之可知 a = & %加=。 e e六、已知Iim:c0,试确定常数4/,c的值.(6分)pln(l + r3)jrJb f解:. Iim(ar SinX) = O,此极限必为Q型,故Iim业二U = O,所以人=Ox0O XTO Jb (rwp'4-'+m. r Q-COSX 1. X(Q-COSX) 1. O-COSX 八由罗毕达法则,原式=Iim -I = Iim 一½ = Iim = CHOXTO ln(l + d) o ln(l + 3) XTo 2XIim (a - CoSX) = O,故 = 1,代入得 ° = g 七、在曲线y = f (o)上一点M处作切线使得切线、曲线及X轴围成的面积为求切点M的坐标;(2)过切点M的切线方程;(3)上述平面图形绕X轴一周得到的旋转体的体积.(10分) 解:设M点坐标为(x0,j),则过M的切线方程为y-j=2o(-%),切线与X轴的交点为,所围平面图形的面积为S=/公Lo-Z=-!-j,I 2 )J。 2l ° 2 J 12 °I2由丘/3 =§ = % =2,故(I)M点坐标为(2,4)(2)过M点切线方程为y = 4(x-l)(3)Vx ="Sx4dx÷乃(x4 -(4x-4)2)r = y + j- = j
