南京工业大学线性代数试题(A)卷及答案.docx
南京工业大学线性代数试题(A)卷(闭)2007-2008学年第二学期使用班级通信,营销班级学号姓名一、填空题(每题3分，共15分)1、设4阶行列式IAI=Ia2%/=3和忸|=|夕13川=1，则行列式忆+理=。2、设A、B都是n阶方阵，M(A-B)2-(A2-2AB+B2)=o'0001、3、设4=°020,则AT=。0300、4000,4、设元线性方程组AX=6,且R(A)=1R(A份=s,则方程组AX=b有解的充要条件是，有唯解的充要条件是，有无穷多解的充要条件是。(15、5、矩阵A=的特征值为，A能否相似于对角阵？。51J二、选择题(每题3分，共15分)1、设A为4阶方阵，则|一3川为()o(A)43A(B)3A(C)3,2(D)34A2、若向量组与=(1,1,0),2=(0,1,1),邑=(°，°，1)能由向量组=(42,%)，a2=(Z?PZ?2,Z?3),%=(。4，。3)线性表示，则向量组1，。2，。3的秩为()(A)1(B)2(C)3(D)不能确定3、若矩阵A的秩等于矩阵B的秩，则()(A).A与B合同(B).B=A(C).A与B是相抵(或等价)矩阵(D).A,B是相似矩阵4、设矩阵A是任一53)阶可逆方阵，A*为A的伴随矩阵，又后是一常数，且ZWO,±1,则(AA)*等于()(A)M*(B)S-IA"(C)knA4(D)k1A'5、设A是3阶矩阵，特征值是4=2,4=T,4=0,对应的特征向量分别是4,%，小，若：0、(D)1<-2>P=(av32,-1),贝JP"AP=(p仅(A)1(B)3<Oj21121121三、(11分)计算n阶行列式Q=.1211200、0070-69,且有关系式A2-2AX=E2X,求矩阵X.'30-25四、(12分)设A=0-4、00五、(12分)设向量组q=(6,4,1T,2)"2=(1,0,2,3,-4)r,a3=(1,4,-9,-16,22/,。4=(7,1,0,-1,3)"求该向量组的秩及其一个极大无关组并将其余的向量用该极大无关组线性表示。六、(14分)问4,人为何值时，线性方程组X1+x2+x3+x4=0X2+2x3+2x4=1-x2+(a-3)巧-2x4=b3x1+2x2+x3+ax4=-1有唯一解，无解，有无穷多组解？在有解时，求出其解。七、(16分)二次型f(x1,2,xi)=x12+ax+j2+2x1x22x2x32axixi的正、负惯性指数都是1,确定二次型/的系数。，并求曲面/=1在点(1,1,0)的切平面方程。八、(5分)设4为n阶方阵，E为n阶单位阵，且A?=A。试证明：r(A)+r(E-A)=n.南京工业大学线性代数试题（A）卷试题标准答案2007-2008学年第二学期使用班级通信,营销一、填空题（每题3分，共15分）00Or400-032(2)AB-BA(3)A,=3(4)r=s,r=s=n,r=s<n0-002J00OJ(5)-4,6;能。二、选择题（每题3分,共15分）1.d.2.c3.c4.b5.c三、（11分）解：按第一行展开，得到Dn=2D"-_Dn_2，。5分于是递推可得Dn（+1）OOOOOOOOOOOOOO11分四、(12分)由关系式A22AX=E2X,得A?-E=2AX-2X,即(A-A+E)2(AE)XOOOQOOOOOOOOOoO4分又可知IA国工0,即A-E可逆。8分上式两边左乘（A-E尸得000、X=；(A+E)=。12400-2600-38,五、(12分)解：以向量囚,。2，03，%为列构成矩阵A并进行初等行变换:101001-50A-001OoOoOOO©000O©06分0000Ioo0OJ所以这个向量组的秩为3,且4,。2,%是它的一个极大无关组。且Ct->1OOOOOOOOOOeOOOOOOOO12分六、(14分)解：对增广矩阵进行初等行变换将它化为阶梯形矩阵U1110、01221AR=OOO4分00a-0b+“00a-0)i)当1时，r(A)=r(A)=4=,方程组有唯一解。这时再用初等行变换将彳进一步化为(00：0(-+"2)/(-1)、OIOb(a-2b-3)(a-)A->W=001:0S+1)("1).000H0,于是方程组的唯一解X即为矩阵W的最后一个列向量。.000.000000000000006分ii)当=1,b-1时，r(A)=3>r(A)=2,方程组无解；。8分iii)当=1,6=T时，r(A)=r(A)=2<n=4,方程组有无穷多解。此时将彳化为简化阶梯形-200O1oor1oOw=W-A则其对应的齐次方程组的基础解系和它本身的一个特解分别为非齐次线性方程组的通解为其中左,6为任息实数。Ooocioeoooooooooooo14分，11-ay由于"A)=p+q=2,所以七、(16分)二次型/的矩阵为A=1a-1<-a11>=-(6Z-1)2(6Z+2)=0o(1)右6Z=1,则*(A)=1不合题意，舍去；OOOOOOOOOO0000000006分(2)若a=-2,由特征多项式1-12f()=A-E=1-2-2-1=-2(2-3)(2+3)21I-A得A的特征值4=3,2=-394=0。所以=4=1,符合题意。故/(1,%2,)=2-2x22+2+2xi-22+41。2分(3)对于曲面/(,x2,)=1由于讨A讨9=4,=2,=Z0期(10)&2(IJ.o)加Mo)故切平面方程为2-2+=1。16分八(5分)证明：因为A(EA)=。，所以由有关结论可知,r(A)+r(E-A)n；。3分另一方面，又因为A+(E-A)=E,由和矩阵秩的有关性质，又有r(A)+r(E-A)r(E)=n。综上所述，所以OOOOO5分r(A)+r(£-A)=n。
