两角差的余弦公式教学案例.docx
两角差的余弦公式的教学案例一、教材分析本节是在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数.“两角差的余弦公式''在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出,a-均为锐角时成立.对于a,为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究.同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。二、学情分析本班学生基础知识，理解能力、分析问题能力参差不齐。虽然经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，但是为了加强了基础知识的认识和理解。教师提供提示和讲解帮助。三、教学三维目标1 .知识目标：掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为学习其它和（差）公式打好基础.2 .能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。3 .情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从己有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。四、点、点教望重点:两角差的余弦公式的理解与灵活运用。教学难点：两角差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。五、学法设计独立思考，交流探究，小组合作六、教学过程（一）、引入新课我们在初中时就知道cos45,=#,cos30'=,cos15=cos（45-30）=?大家可以猜想，它是否等于cos45-cos30呢？我们可以用特殊值检验其成立的可能性:cos156=cos(450-30a)>,ff1cos45-cos3002CoSQ一)=CoSC-CoS0不恒成立那么cos(-/)到底等于什么呢？是否与,/角的三角函数有关呢？这便是我们这节课要研究的问题！(设计意图：让学生通过具体实例消除对“cos(-B)=COSa-COSB”的误解，说明两角和(差)的三角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。)(二)、自主探究引发思考层层深入得出结论请独立思考以下问题：(1)向量的数量积ab=a=(x1,y1),b=(x2,y2)贝IJab=问题：CosZP1OP2=cos(45°-30°)=问题2:由COS95。-30。)=COS45Ocos30。+Sin45。Sin30。出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗？问题3：两角差的余弦公式推导设a=(costz,sin),B=(coj,sin7),夹角为90,万,a,为任意角ab=CoSaCO驱+SinaSin尸/ab=abcos.CoS夕=cos6ifcos+si6zsin7当点4在直线。尸2上或上方时角夕+e与角终边相同，.=+e+2七r,AZ:.a-j2k,kZ:.cos(-?)=CoS夕.,.cos(-?)=CoSaCOS/7+sinasin当点A在直线。尸?下方时角/一。与角终边相同，.=/?夕+2乃次Z:.a-=-2kr,AZ/.cos(-)=cos(-6)=COSe.,.CoSQ-)-COSaCOs-+sinasin综上所述，COSg/7)=COSaCO跖+sinsin7，对于任意的角%/?都成立。X1.公式中两边的符号正好相反（一负一正*2 .式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3 .式子中a、B是任意的。4式子的逆用，变形用（三）.公式应用例1、利用差角的余弦公式求值Cos150设计意图：学生动笔自由尝试、主动探索。让同学感受获得公式后的第一份喜悦。由于初学公式的应用，随后给学生示范。例2、已知Sina=（g九）,cos/=不尸（肛57），求COSQ-77）的值。3又由(,-),得Sin=-JI-CoS-=一由余弦的差角公式得COSg-)=COSaCos+sinsinX注意角。、夕的象限，也就是符号问题.【变式练习】45已知,/都是锐角,cosa=-,cos(a+P)=-值,求cos/?的值。解：由a(O,y),得Sina=，_1)=|TT又由尸(0,q),则+A(O,<)得sin(+/?)=JI-COS23+夕)=得=j-由余弦的差角公式得cos/?=cos(a+)-a=cos(+/7)COSa+sin(÷4)Sina/5、/4、12316=()()H-=13513565X注意角的变形=g+)-二七、巩固练习课本127页1-4八、课堂小结1、牢记公式的结构特点，牢记公式Gai)=Cc+ss.学会逆用公式。不符合公式结构特点的，常通过诱导公式变形使之符合，学会灵活运用.2、强调公式中a、B的任意性，是本节内容的主线，它赋予了公式的强大生命力。九、布置作业1课本137页A组2、3、4、52.探究：知道了cos(a-£)那么cos(a+/)=?,你觉得sin(a±£)也有类似的规律吗？十、板书设计3.1.1两角差的余弦一、两角差的余弦公式及其推导例2、CoSg-/7)=COSdfcos/?+sinasin二、公式的应用练习例1、小结_、课后反思.1、教学中引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，注意展示知识形成的过程，体会向量作为解题工具的巨大威力，2、逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。今后学习过程中需通过步步加深的练习，加强学生对公式的理解和应用。
