高数上册知识点.docx

高等数学上册知识点一、函数及极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性，单调性，奇偶性，周期性)；2、反函数，复合函数，函数的运算；3、初等函数：卷函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，双曲函数，反双曲函数；4、函数的连续性及间断点；函数f(%)在Xo连续八./()XfXo第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点，跳动间断点、第二类：左右极限，至少有一个不存在.无穷间断点，振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性及最大值最小值定理，零点定理，介值定理及其推论.(二)极限1、 定义1) 数列极限IirnX="oVe>0,3NN,>N,氏-c<n2) 函数极限Iim/(x)=A=V£>0,3>0,Vx,当0<,一式()|<5时,(x)-A<XfrO左极限：/(%)=/O)右极限：/(E)=IimJ(X)XTXoxx0Iim/(%)=A存在o/()=/(Xo)X×Q2、 极限存在准则1) 夹逼准则：1)先Zzz1("%)2) Iimyn=Iimz="Iimxn=a：nnnJ2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小(大)量1) 定义：若Hma=O则称为无穷小量；若Iim=8则称为无穷大量.2) 无穷小的阶：高阶无穷小，同阶无穷小,等价无穷小，Z阶无穷小Th1a=B=+o()；讣2。，4，加2;存在，贝!I1imH=Iimg(无穷小代换)aaa4、 求极限的方法1) 单调有界准则；2) 央逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：.1a)b)Iim(I+x)X=Iim(1+)"=e',X0A+JQ5) 无穷小代换：(x0)a) XSin光tan%arcsinxarctanxb) e"-1x(优一1X1nq)c) In(I+x)x()d) (1+尤)“一1Coc二、导数及微分(-)导数定义：)=Jimo/(九)一/(%)左导数Ya)=%右导数：/+'(/)=,吧;X-X0/(X)-/(%)X-Xq/(X)-/心)X-X0函数f()在点可导=£(%)=Ar()2、几何意义：X)为曲线y=/()在点(X0，/(Xo)处的切线的斜率.3、 可导及连续的关系：/(%)在点可导nf(x)在点连续4、 求导的方法1)导数定义；2)基本公式；3)四则运算；4)复合函数求导(链式法则)；5)隐函数求导数；6)参数方程求导；7)对数求导法.5、 高阶导数1) 定义：2) 1eibniZ公式：(中)=£小)户1)k=Q(二)微分1)定义：=/(x0+x)-/(x0)=Ax÷6>(x),其中A及Av无关.2)可微及可导的关系：可微O可导，且办=F'C)A='C)公三、微分中值定理及导数的应用(-)中值定理1、RoIIe定理：若函数/(%)满意：1) /(x)C,Z?;2)f(x)eD(a,b);3)/()=/(0)；则mg(Q),使f'C)=0.2、1agrange中值定理：若函数,f(x)满意：1)/(x)Ca,Z?;2)f(x)eD(a,b);则(a,b使fS)-f(a)=ff()(b-a).3、CaUChy中值定理：若函数/(幻,尸(元)满意：1)/(x),F(x)C,52)/(x),尸(X)0(。,。)；3)b'(x)O,x(,b)则*0使凡S=毕1jF(b)-F(a)Ff()（二）洛必达法则注意：1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达者则！1-X2-COSX如：Iim5°tanX2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限,然后用洛必达法则！r函+物丫如：m-n/3、洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的！1imI÷s（）Xf+O0X21Xcos如：Iim-sinX（三）Tay1or公式阶Tay1or公式：U)=()+()U-)÷(-)2+J在玉）及X之间.当二°时，成为阶麦克劳林公式:/(0)/工工)(o)YJrEC)Jv十十Jy>十2!n5+1)!(-1)(")(1+yI向面面尤在O及1之间，-1VXV1.（四）单调性及极值1、单调性判别法：/(%)Ca,b,/(x)DgM,则若r(x)>O,则/(x)单调增加;则若r）vo,则/（%）单调削减.2、极值及其判定定理:a)必要条件：/(%)在可导，若/为的极值点，则尸(Xo)=0.b)第一充分条件：/(%)在的邻域内可导，且尸(XO)=0,则若当x<时，f,(x)>0,当x>时，f,M<0,则与为极大值点；若当X<Xo时，/'(X)<0,当x>%o时，/。)>0,则%为微小值点；若在飞的两侧/'(X)不变号，则与不是极值点.C)第二充分条件：/(X)在/处二阶可导，且r()=o,(),则若/"C)<o,则与为极大值点；若(%o)>O,则%为微小值点.3、凹凸性及其推断，拐点D/(X)在区间/上连续，若M,%c,</("/(£),则称/(X)在区间/上的图形是凹的；若VxM26/,/(1±1)>.-y)÷()则称f()在区间/上的图形是凸的.2)判定定理：在凡加上连续，在(4,。)上有一阶，二阶导数，则a)若DXW(,力J"(x)>0,则/(%)在句上的图形是凹的；b)若DXWmS),"(x)<0,则/(%)在a,b上的图形是凸的.3)拐点：设y=(x)在区间/上连续，是/(x)的内点，假如曲线y=(x)经过点C,/(Xo)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(o，/(XO)为曲线的拐点.(五)不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值(最值).(六)方程根的探讨1、 连续函数的介值定理；2、 Ro11e定理；3、 函数的单调性；4、 极值，最值；5、 凹凸性.(七)渐近线1、铅直渐近线：1im(x)=8,则X=。为一条铅直渐近线；xa2、水平渐近线：1im(x)=j则y=。为一条水平渐近线；3、斜渐近线：Iim"(x)&=存在，则y=Zx+h为一条斜渐近线.(八)图形描绘步骤：1确定函数y=()的定义域，并考察其对称性及周期性；2 .求广(犬),/"。)并求出/(九)及/"(X)为零和不存在的点；3 .列表判别函数的增减及曲线的凹向，求出极值和拐点；4 .求渐近线；5,确定某些特别点，描绘函数图形.四、不定积分(一)概念和性质1、 原函数：在区间/上，若函数尸(九)可导，且F(尤)=/(©,则/(X)称为/(%)的一个原函数.2、 不定积分：在区间/上，函数/(x)的带有随意常数的原函数称为/(1)在区间/上的不定积分.3、 基本积分表（P188,13个公式）；4、 性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：=f（u）duu=（x）2、第二类换元法（变量代换）：fdx=f（t）f（t）dt_1（三）分部积分法：udv=uvvdu（四）有理函数积分1, “拆”；2,变量代换（三角代换，倒代换，根式代换等）.五、定积分（一）概念及性质:1、定义：f（"c=熟©应/=12, 性质：（7条）性质7（积分中值定理）函数/（x）在区间U句上连续，则就向，使bIf(x)dx=f()(b-a)(平均值：)（二）微积分基本公式（1,公式）1、变上限积分：设(X)=力，则'(%)=/(%)推广：-yC力=/尸(切夕(尤)-/(%)'(九)dxJa(X)a2、N-1公式：若尸(X)为了(%)的一个原函数，则J/(x)dr=FS)一厂()(三)换元法和分部积分1、换元法：f(x)dx=f(t)(t)dtJaJa2、分部积分法：udv=uvavdu(四)反常积分1、 无穷积分：7?If(x)dx=Iimff(x)dxJa>+ooJaf(x)dx=Iimf(x)dxJIf-CoJt+or+f(x)dx=J(X)dx+jf(x)dx2、 瑕积分：CbaIf(x)dx=IimIf(x)dx(Q为瑕点)JataJtCf(x)dx=Iimf(x)dx(力为瑕点)JatbJa两个重要的反常积分：+8,p<r+dxI)JaXPJp>1PTFCk_dx2)1(无-d)qJaS-)cSi)ji-q+,q<41(-)平面图形的面积X(二)体积六、定积分的应用1、旋转体体积：a)曲边梯形y=/(%),X=,x=Z?,X轴，绕X轴旋转而成的旋转体的体积:yx=Jw2(工)公b)曲边梯形y=/(x),X=a,x=Z?,X轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:匕=J：2W(X)(柱壳法)a2、平行截面面积已知的立体：V=JA(x)dx(三)弧长1、直角坐标：S=jJ1+1()24%2、参数方程：S=2+k2dt3、极坐标：S=白夕(夕)2+2四七、微分方程(一)概念1、微分方程：表示未知函数，未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有随意的常数，且常数的个数及微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的随意常数后得到的解.(二)变量可分别的方程g(y)dy=f(x)dx9两边积分g(y)dy=J/(XMr(三)齐次型方程,设，则；或，设，则（四）一阶线性微分方程田青却亦同出/阳、点y=ef/（AR/AfQ（）e'（x）dxdx+C用常数变易法或用公式：,J匕"（五）可降阶的高阶微分方程1, y""=（）,两边积分次；2, y”=（%,y'）（不显含有y）,令y'=p,则y"=p'3, =（¾yr）（不显含有1）,令y'=p,则（六）线性微分方程解的结构1,%，为是齐次线性方程的解，则GM+G%也是；2,必，必是齐次线性方程的线性无关的特解，则GM+。2%是方程的通解；3,丁=。|必+。2%+丁*为非齐次方程的通解，其中必，必为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：yff+pyf+qy=O特征方程：/+pr+=o,特征根：八，弓特征根通解实根y=Ce'x+C2ex4=G=I=(C1+C2x)Z1Jr2=a±iy=eax(C1cos/?x+C2sinBX)（八）常系数非齐次线性微分