第二课时 函数奇偶性的应用.docx

第二课时函数奇偶性的应用课标要求素养要求1掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.1 .通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思想方法，提升逻辑推理素养.2 .通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.课前预习知识探究自主梳理1 .函数的奇偶性与单调性(1)若火X)为奇函数且在区间口，0(幼)上为增函数，则於)在-6,一0上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同).(2)若贝x)为偶函数且在区间口，6(次乃)上为增函数，则4E)在一4一。1上为减函数，即在对称区间上单调性相反.2 .奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.3 .函数的对称轴与对称中心(拓展)(1)若函数/(x)的定义域为。，对Vx。都有/(T+x)=(T-)(T为常数)，则X=T是以)的对称轴.(2)若函数y(x)的定义域为。，对Vx。都有(4+x)+y(-)=26(mb为常数)，则03是以)的对称中心.自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)若.危)是偶函数，则y=-)=)(J)(2)若对仆)定义域内任意的X都有(+x)=(力一x),则函数./)的图象关于X=亍对称.(J)(3)若奇函数4)在，切上有最大值"，则人外在一小一团上有最小值一”.(J)2 .定义在R上的偶函数/(x)在(0,+8)上是增函数，则()A(3)<(-4)<-)B(一)勺(一4)勺(3)C43)<A-)<(-4)D人4)勺(一)<式3)答案C解析：/)是定义在R上的偶函数，A-)=),/-4)=X4),又危)在(0,+8)上是增函数，0<3<<4,3)<)<4),即加)勺(一兀)勺(一4).x+3 .已知y(x)=f+是奇函数,则Q=.答案0解析由0)=。=0,得=0.4 .己知外)是定义在R上的奇函数，当XVO时，/)=-2,贝IJ当x>0时，.危)=答案x÷x2解析设x>0,则一XV0,(-)=-(-)2=-2.又八-X)=一危)，故40=x+x2-课堂互邀，题型剖析题型一利用奇偶性求函数解析式角度1求对称区间上的解析式1501-11(1)函数/)是R上的偶函数,且当XVo时，y=(-1),则当x>0时，fix)=.(2)函数.危)为R上的奇函数，当QO时.危)=一2+3+1,则於)=.f2x2÷3x÷1,x>0>答案(I)Xa+1)(20,x=0,1zr2+3-1,x<0解析(1)设x>0,则一v,所以八一x)=-x(x1)=x(x+1).因为函数.段)为R上的偶函数，故当x>0时，.)=(-)=x(x+1),即xX)时，兀V)=Xa+1).(2)x<0,贝IJ-X>0,所以人一刈=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于负M是R上的奇函数，故/)=一/(一%)，所以(x)=2x2+3-1,即当XVo时，x)=2x2+3x-1.因为小)为R上的奇函数，故/(0)=0.2x2+3x+1,x>0,综上，4)的解析式为危)=<0,x=0,.2x2÷3-1,x<0.角度2构造方程组求解析式【例1一2】设人幻是偶函数，g(x)是奇函数，且於)+g(x)=战，求函数.危)，g(x)的解析式.解；危)是偶函数，g(x)是奇函数，(-X)=舟)，鼠一X)=-g(x)，由H)+g)=Jr,用一X代替X,得人一x)+g(X)=三FrY，(x)-g(x)=1，1X(+)÷2,得以)=乒口；(一)÷2,得g(x)=m=.思维升华已知函数4)的奇偶性及函数外)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，X就设在那个区间上；(2)把X对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用.危)的奇偶性将./(一刈用一/(x)或大x)表示，从而求出.危).【训练1】(1)设函数危)是定义在R上的奇函数，当XVo时，4)=一/一心求函数加)的解析式；(2)设HX)是偶函数，g(x)是奇函数，且/(x)+g(x)=f+2x,求函数/(x),於)的解析式.解(1)设x>0,WJ-<O,(-x)=(x)2(x)=x2÷x.又.危)是R上的奇函数，.(x)=一(x)=f-.又Y函数定义域为R,(0)=0,x2-fx<0f.xz-x9x0.(2).yu)是偶函数，g()是奇函数，:小-X)=(x)，以-X)=-gM，由x)+g(x)=2x+x2.用一x代替X,得人-x)+g(-x)=2x+(x)2,*fix)-g(x)2x+x2,(十)+2,得TW=X2;(一)+2,得g(x)=2x.题型二函数奇偶性的应用角度1利用函数的单调性与奇偶性比较大小【例21】若对于任意实数X总有人一)=(x),且")在区间(一8,1上是增函数，则()AI)%1)饮2)B2)<(-J<A-1)C2)<AT内卜I)D4-1)<-1)<2)答案B解析对任意实数X总有人一)=(),危)为偶函数，2)=(2).又4)在区间(-8,1上是增函数，-2v-v-1火2)勺(一演一1),故选B.思维升华比较大小的方法：自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.角度2利用奇偶性、单调性解不等式【例22】(1)设定义在3,3上的奇函数.段)在区间0,3上是减函数，若/(1-)<(w),求实数m的取值范围；(2)定义在2,2上的偶函数g(x),当x20时,g(x)为减函数，若g(1m)vg(m)成立，求机的取值范围.解(1)因为4)是奇函数且"r)在0,3上是减函数，所以儿:)在3,3上是减函数.1m>m,-3n3,31w3,解得一即加的取值范围为-2,(2)Vg(x)-2,2上为偶函数，且x20时为减函数,-1w3,2w2,=、(1w)2>m2-21-w2,g(1Wg(MQg(I1网)Vg(IM1)Or2w2,=>,11w>m1w<2即m的取值范围为卜1W/nv；，.思维升华利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成人制)MX2)或於1)<(X2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.角度3利用函数奇偶性求参数(值)【例2-3(1)若(x)=+4)(-4)为偶函数，则实数Q=.”一+x,xW0,(2)已知函数(x)=<2八为奇函数，则+b=ax+bx,x>0答案(1)4(2)0解析a)；/(X)为偶函数，()=(一),即(x+)(-4)=(x+)(-x4),整理得，2=8,a=4.(2)由题意知,/(2)=-/(-2),所以b=.4+2b=-2,+b=O,/(I)=一/(一1),当。=-1,6=1时，经检验知.段)为奇函数，故+b=O.思维升华利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决.(2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有X的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有X的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.(3)利用奇偶性求参数值时，应根据xR等式恒成立的特征求参数.【训练2】(1)函数/(x)在(-8,+8)上单调递减，且为奇函数若则满足一1W(x-2)W1的X的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3(2)已知偶函数HX)和奇函数g(x)的定义域都是(一4,4),且在(一4,0上的图象如图所示，则关于X的不等式/)#)<0的解集是.答案(I)D(2)(-4,-2)U(0,2)解析(1)；於)为奇函数，负1)=-1,4-1)=1.一1(x-2)1,1)-2)-1).又；危)在(一8,十8)上单调递减，-1-21,1x3.故选D.(2)设(x)=x)g(x),则h(-)=-)g(-)=Ax)g(x)=一Hx),.z(x)是奇函数，补全.危)，g(x)的图象(图略)，由图象可知：当一4vv-2时，/)>0,g(x)<O,此时力)v;当0<x<2时,x)<O,g(x)>O,此时力(x)<0,Vo的解集为(-4,-2)U(0,2).故答案为(-4,-2)U(0,2).题型三证明函数图象的对称性(拓展)【例3】求证：二次函数/(x)=-x22x+1的图象关于x=-1对称.证明任取xR,v-1+%)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,J-1-X)=一(一1-x)2-2(-1-X)+1=-2+2,.-1+x)=(-1-),.危)的图象关于x=-1对称.思维升华(1)要证明函数兀V)的图象关于X=A对称，只需证明对定义域内的任意X,满足j(hx)=J1h+x).(2)要证明函数4)的图象关于点3,b)对称，只需证明对定义域内的任意X,满足f1+x)+y(tzx)=2b.【训练3】证明函数/)=南的图象关于点(一1,1)对称.证明函数./)的定义域为(一8,1)U(-1,+).任取x(-8,-1)U(-1,+),-1+x1-1Xvy(1÷)÷y(-1-X)=-1II1÷-;TT八'八7-1+x+11x+11+x11+x=+=2,XX即兴-1+x)+/-1-X)=2X1,加)的图象关于点(一1,1)对称.课堂小结1 .奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2 .如果一个奇函数於)在X=O处有定义，那么一定有40)=0;如果函数./(X)是偶函数，那么y=)3 .利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心问题是转化.4 .对于抽象函数（未给出解析表达式的函数）可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.-Q分层训练-素养提升I基础达标I一、选择题1.已知定义在R上的奇函数加）满足於+2）=危），则火2）的值是（）A.0B.1C.2D.4答案A解析由题意得0+2）=/（2）=/（0）=0.2麻）=（加一1）x2+2加x+3为偶函数，则人工）在区间（2,5）上是（）A.增函数