第二课时 单调性与最值.docx
第二课时单调性与最值课标要求素养要求1 .掌握y=sinx,N=CoSX的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2 .掌握y=sinx1y=cosX的单调性并能利用单调性比较大小.3 .会求函数y=Asin(x+9)及y=ZCOS(CM+9)的单调区间.借助V=SinX与y=cosX的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.课前预习知识探究自主梳理正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中左Z)正弦函数余弦函数图象yJ0-ZXY六二y、T/-t)s1-.值域1I,111I,11单调性在1§+2加，J+2E1上单调递增,在住+2E,争+2E上单调递减在F-+2E,2E1上单调递增,在2E,+2%上单调递减最值J1兀X=$+2k1J1时,Nmax=I;X=一§+2E时,Jmin=-IX=2E时,Vmax=1;x=+2"兀时，Jmin=11自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数.(X)提示正弦函数、余弦函数在定义域内不单调.(2)存在实数X,使得CoSX=(X)提示余弦函数最大值为1.(3)余弦函数y=cosx在O,上是减函数.(J)2 .函数y=2sinx取得最大值时X的值为.Tr答案一+2E(AZ)JT解析当SinX=-1,即x=+2E(%£Z)时，函数y=2sinx的最大值为3.3 .函数/)=/cos("一4的单调递减区间是.Tr5兀答案g+E,-g-÷HJ(ArZ)JT解析令2内cW2-彳/兀+2E,kef1,Tr571得d+4Wxb+E,kWZ,OO即4)的单调递减区间是,51,1g+E,勺+E(左Z).4 .sin250。与sin260。的大小关系为.答案sin250o>sin260°解析Vsin250o=sin(180o+70o)=-sin70o,sin260o=sin(180。+80°)=sin80°,而sin70o<sin80o,.*.sin70o>-sin80o.,.sin250o>sin260o.-9课堂互动题型剖析题型一正弦、余弦函数的单调性【例1】求函数y=1+sin(5+/x14兀，4用的单调递减区间.解y=1+sin(-$+彳)=-sin&-：)+1.Tt1TCt由2EgWp:wW2E+(%WZ).3解得4Zr-2x4Zr÷2Z).又.-4,4,.函数y=1+sin(-x÷的单调递减区间为思维升华用整体替换法求函数y=sin(cox+9)或y=cos(s+p)的单调区间时,如果式子中X的系数为负数，先利用诱导公式将X的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.【训练11求函数/)=2cos(2xW的单调递增区间.TT解令兀+2EW2x辞2仇左Z,5Tr解得T+E<"W万+而，k£Z,所以函数段)的单调递增区间是一51,1,五+E,五+桁(左£Z).题型二利用正弦、余弦函数的单调性比较大小【例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sinfcosf23Y(17)(2)COS("yj与cos1解(1)sin>=sin(÷g4=_Sm布,13Icosy=CoS12一cos正.H=smw，Tr且y=sinx在0,2上是增函数,30，.4,1I.sm<sm刀不；4Hb,4913从而一sin后>sm玉即sin->cosy.思维升华用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.【训练2比较下列各组数的大小:(1)sin(2)cos29.49苇-与sin-.(I)Sin(一5)=sin(sin()=sin(16+f)=sinTETr<y=SinX在一上是增函数,(2)cos296=cos(4+>cos5T,.49.(.13.13sin-=sn14÷-1=sn.(.17A17=sno+-j=Cosv,.517兀pt2949兀cos-">cosg",即cos->sm题型三正弦、余弦函数的最值（值域）问题角度1正弦、余弦函数的最值（值域）问题【例31】求y=cos（x+看j,x0,，的值域.（,兀）兀】一9,兀兀2兀工+斜xo,1可得十%,y因为函数y=cosx在区间煮，与上单调递减，cos、=坐,cosy=-所以函数的值域为一；,角度2形如y=4sin2+6sinx÷C或y=4cos2+8cosx+C型的最值(值域)问题【例32】求y=cos2-4COSX+5的值域.解y=cos2%4cosx÷5,令Z=COSX,则一IWfW1y=P-4f+5=(12)2+1,当£=1,函数取得最大值10；f=1时，函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10.思维升华求三角函数值域或最值的常用方法形如y=sin(Gx+p)的三角函数，令t=x+s,根据题中X的取值范围，求出/的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin/的最值(值域).(2)形如y=0si2+bsinx+c(W0)的三角函数，可先设=sinx,将函数y=4si2+bsinx+c(WO)化为关于t的二次函数y=P+4+c(0),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=4sinx(或J7="cosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.31【训练3】若函数y=Q6COSX3>0)的最大值为最小值为一域求函数歹=-4acosbx的最值和最小正周期.解9y=aZjcosx(>>0),Jax=+b=5,)min=Q-b=-Z.y=-4。COSbx=-2cos%,所以函数y=4CoSbX的最大值为2,最小值为一2,最小正周期为2.课堂小结1 .求函数y=4sin(x+p)(>O,s>0)单调区间的方法TFTT把ftr+g看成一个整体，由2"一1W(x+9W2%7+5(左GZ)解出X的范围，所得区间即为单调递增区间，由2E+5s+衿2E+gZ)解出X的范围，所得区间即为单调递减区间.若<0,先利用诱导公式把G转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2 .比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3 .求三角函数值域或最值的常用方法：将y表示成以Sinx(或CC)SX)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.分层训练素养提升I基础达标I一、选择题1 .函数y=sin2x的单调递减区间是()""jc3A. 2÷2,+2E(AZ)，1,131B. +,k+(3Z)C.÷2,3+2E(%Z)兀D.E不E+a批Z)答案B解析令，+2E2x苧+2%,Z,3兀得左Z,Jr3JT则y=sin2%的单调递减区间是z+E,y+J(ArZ).2.函数“r)=sin(2x一争在区间O,上的最小值是()A.-1B.一勺C.乎D.0答案B._八兀1兀兀3兀解析.0,或，2-4,a,3.函数外)=-2sin2+2cosx的最大值和最小值分别是()A.2,-2B.2,-1,C.2,一；D.,2答案B解析fi×)=2sin2x÷2cosx=2×(1cos2x)÷2cosx=2cos2x÷2cosx-2=2Xgosx+£|2,=2(COSX+，一|,*,1COSX1,(x)min=|,AV)max=2.故选B.Tr4.若函数兀T)=Sin5(»>0)在区间上单调递减，则口的取值范围是()2 3A.0B.023 3C.23D23答案D解析令5+2%WcoxW竽+2%兀，ZrZ,r兀,2A,3兀,2k,则丁+xz-+,左Z.22TTTT.函数於)=sinX(S>0)在区间歹2上单调递减，兀j*-兀-3.3，*一.,乐45且诙2'WgW3.5 .（多选题）不同时具有以下3个性质：最小正周期为兀;图象关于直线X=女寸JrTr称；在一彳，W1上为增函数的函数是(),fx.(c兀、A.y=s1n5十B.y=sm12-C.y=cos(2x+1)D.y=sin(2x+聿答案ACD解析函数y=sin仔+§的最小正周期为T=W=4兀，不满足，A符合题意；2函数Iy=Sin的最小正周期为=y=,满足，当X=W时，y=sin信一看)=1,取得最大值，所以X=是y=sin(2x一的一条对称轴，满足，TI-兀兀兀又XE不3时，2x-6e2,2，所以y=sin(2x1)在一/用上单调递增，满足，B不符合题意；函数N=cos(2x+§在x一点,即2x+W0,兀时单调递减，不满足，C符合题意；对于y=sin(2x+5),当X=W时，V=sin停+2)=今不是最值，所以直线X=W不是y=sin(2x+2的一条对称轴，不满足，D符合题意.故选ACD.二、填空题6 .函数y=sin修一§取最大值时自变量的取值集合是.答案卜卜=苧+4E,攵z解析当»红2加左Z,即X=苧+4E,%Z时，函数取最大值.7 .sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为.答案sin3<sinKsin2解析V1<<2<3<,sin(-2)=sin2,sin(-3)=sin3.y=sinx在(0,，上是增函数,且0<-3V1VTt2与sin(-3)<sin1<sin(-2),即sin3<sin1<sin2.8 .若贝x)=2sinsr(0vVI)在区间O,W上的最大值是1则G=.3答案iJ1TT解析.G0,§,即OWXW且OVc9<1,.C-GTI.O=x=<y.7(x)ma2sin詈=啦,.sin-=2，=493即=4三、解答题9 .求下列函数的单调递增区间.(1)y=1-sin|；(2)y=k>gsin住一"TTX3解(1)由2履+5<辽2E+2兀，keZ、得4E+Wx4E+3,Z.Y尸1一5吟的单调递增区间为4+,4+3(J1Z).(2)要求函数y=I
