第二课时 函数的奇偶性（二）.docx

第二课时函数的奇偶性（二）课标要求素养要求1 .掌握函数奇偶性的简单应用.2 .了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.1 .通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2 .通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.课前预习知识探究自主梳理奇函数、偶函数性质奇函数的图象关于原点对称,若函数的图象关于原点对称，则该函数是宣函数.偶函数的图象关于谢对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.（2）若兀r）为奇函数且在区间出，句（<b）上为增函数（减函数），则应¥）在Z?,c上为增函数（减函数）,即在关于原点对称的区间上单调性相回.（3）若兀¥）为偶函数且在区间出，回3<b）上为增函数（减函数），则7U）在b,a上为减函数（增函数）,即在关于原点对称的区间上单调性福反.若函数y=y）与y=g（x）的图象关于y轴对称，则U）,g（）是偶函数吗？不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.自主检验1 .思考辨析，判断正误（I）若yu）是偶函数，则於）=/（幻=A1X1）（J）若兀V）对定义域内任意的X都有1。+防=/（匕-X）,则函数«r）的图象关于Jr=（对称（）（3）若奇函数7U）在,加上有最大值M,则AX）在一儿一网上有最大值一M.（X）提示奇函数的图象关于原点对称，在。，句上有最大值M,则在一6一。上有最小值一M.(4)定义在R上的偶函数兀)在(O,+8)上是增函数，则五3)勺(一)V(-4).(J)2.已知函数y=(x)在R上为奇函数，且当了20时，yU)=f2x,则当x<0时，段)的解析式是()A.x)=x(x+2)B.J(X)=X(X-2)C7U)=-(-2)D.yU)=x(x+2)答案A解析设x<0,则一QO,所以五一x)=(-%)2-2(-)=W+2x.因为函数“¥)为R上的奇函数，所以/)=7(%)=x(x+2),故选A.3.下列函数是偶函数且在(一8,0)上单调递减的是()XA.y=x÷1B.y=*_C.y=2-1D.y=x+答案C解析A：为非奇非偶，A错；B：为奇函数，B错；C：为偶函数且在(一8,0)上减，C正确；D：为奇函数，D错.4.设定义在-2,2上的奇函数7U)在区间0,2上是减函数，若-W)<-1),则实数m的取值范围为.答案-1，解析因为yu)是奇函数且人外在0,2上是减函数，所以加)在-2,2上是减函数.-m>tn-1,2-n2,-2n-12,解得一1Wm<.所以实数用的取值范围为-1,课堂互动题型剖析题型一利用奇偶性求解析式角度1求对称区间上的解析式【例1】(1)函数外)是R上的偶函数，且当x<0时，/W=Mx1),则当QO时，yw=(2)函数/)为R上的奇函数，当心>0时，段)=-2x2+3x+1,则危)=.f-2x2+3x÷1,x>0,答案(I)Xa+1)(2)S0,x=0,1zr2+3-1,x<0解析(1)设心>0,则一v,所以五一X)=-X(X1)=Xa+1).因为函数/U)为R上的偶函数，故当入>0时，yu)=/(x)=x(x+i),即QO时，yu)=Mx+i).(2)设x<0,则一Q0,所以五一X)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于7U)是R上的奇函数，故7(x)=-Kx)=2x2+3x1,即当x<0时，兀0=2r2+3-1.因为兀0为R上的奇函数，故10)=0.22÷3÷1,>0,综上，兀0的解析式为u)=<0,=o,.2x2÷3-1,x<0.角度2构造方程组求解析式【例2】设火工)是偶函数，g()是奇函数，且U)+g()=F,求函数/U)，g()的解析式.解.ym)是偶函数，g(x)是奇函数，A-)=y(),g(一)=-g(),由於)+g()=T,用一X代替Xt得逐一X)+g(X)=三匕，7U)-g()=_A1，(+H2,得於)=;Y(一)÷2,得g(x)=22思维升华已知函数小E)的奇偶性及函数儿E)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，X就设在哪个区间上；(2)把X对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用yu)的奇偶性将五一x)用一兀0或TU)表示，从而求出yu).【训练1】(1)设函数yu)是定义在R上的奇函数，当XVO时，yu)=x2X,求函数於)的解析式；(2)设八X)是偶函数，g(x)是奇函数，且yU)+g(x)=2+2x,求函数/U),g(x)的解析式.解设Q0,则一x<0,.*.(X)=(X)2-(X)=-2+x.又以)是R上的奇函数，«¥)=-/(-R)=X2-X.又函数定义域为R,(0)=0,x1-fx<0,综上可知/U)=jX30.(2)U)是偶函数，g(x)是奇函数，/(一%)=%)，g(-X)=-g(x),由於)+g(x)=2x+f.用一R代替得大一x)+g(X)=2x+(x)2,(x)-g(x)=-Ze+2,(+)÷2,得7U)=f;(一)÷2,得g(x)=2x.题型二奇偶性与单调性的综合应用角度1比较大小【例3】(1)若对于任意实数X总有五一五)=/5),且火幻在区间(-8,1上是增函数，贝J()A.j(-)<-1)<(2)B2)<(-J<(-1)C.2)<-1)<t-2(2)设偶函数y(x)的定义域为R,当x0,+8)时，外)是增函数，则大一2),火),八一3)的大小关系是()A()4-3)/-2)B.y(7i)次-2)M3)C)<(-3)<(-2)D.)<-2)<(-3)答案(I)B(2)A解析(1),对任意实数X总有五一x)=(x),火外为偶函数，犬2)=/(2).3又危)在区间(-8,1上是增函数，一2<一左一1.2)<(-J<(-1),故选B.(2)因为函数yu)为R上的偶函数，所以遂-3)=3),共-2)=(2)又当x0,+8)时，氏r)是增函数，且>3>2,所以犬兀)/3)42),故人兀)/一3)次-2).角度2利用奇偶性、单调性解不等式【例4】(1)设定义在-3,3上的奇函数兀V)在区间0,3上是减函数，若/(1w)<(w),求实数m的取值范围；(2)定义在-2,2上的偶函数g(x),当x20时，g(x)为减函数，若g(1一相)<g(w)成立，求实数?的取值范围.解(1)因为U)是奇函数且人r)在0,3上是减函数，所以7U)在-3,3上是减函数.1-tn>m1-3w3,313,解得一2W2</即用的取值范围为一2,；).(2)工。)在-2,2上为偶函数，且x20时为减函数,1"73,2m2,=、(1m)2>n2f-21-w2,'g(1Vg(MQg(I1机)<gQ"7)=人2n2,=11-m>m-11n<.即用的取值范围为“川一1W"2<:思维升华1.比较大小的方法:(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.2.利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成yU)M2)或yu)勺(X2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【训练2已知危)是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上是增函数.若五-3)=0,贝仁乎<0的解集为.已知函数./U)是奇函数，其定义域为(一1,1),且在区间0,1)上为增函数.若血2)+432a)<0,试求实数a的取值范围.答案x-3<x<0,或x>3解析氏0是定义在R上的偶函数，且在区间(一8,0)上是增函数，兀0在区间(0,+8)上是减函数.j(3)=y(-3)=0.当Qo时，由7U)<0,解得Q3;当x<o时，由yu)>o,解得一34<o.故所求解集为川一3<<0,或x>3.解因为加-2)+432。)<0,所以(-2)v-(3-2),又因为7U)是奇函数，所以犬。一2)勺(2-3).又因为兀0在区间0,1)上为增函数，所以兀0在区间(一1,1)上为增函数.a-2<2a3f仅>1,-<a-2<,即1<d<3,解得<a<2.-<2a-3<1,11<a<2,所以的取值范围为(1,2).题型三奇偶性与对称性的应用【例5】若函数y=(x)在(0,2)上是增函数，函数y=U+2)是偶函数，则下列结论正确的是()AD<(1j<(JBdk1)<y(JC4MS<1)DM1)<答案B解析y=/U+2)是偶函数，加一幻=A2+x),故y=(x)的图象关于直线x=2对称，U)=火3)又危)在(0,2)上为增函数，於)在(2,4)上为减函数.又2<v3<T<4,局次3)环)，即猥回)41)思维升华(1)要证明函数/U)的图象关于X=力对称，只需证明对定义域内的任意心满足大力一x)=+x).(2)要证明函数段)的图象关于点(出3对称，只需证明对定义域内的任意X,满足fia+x)+J(a-)=2b.【训练31证明函数y=±的图象关于点(一1,1)对称.人IJ1证明函数段)的定义域为(一8,1)U(-1,+8).任取x(-8,-1)U(-1,+),.J(-+x)+J(-x)=1+x-1+x+11X-1-+11÷x,1÷x=2,即1一1+x)+y(-1-X)=2×1,.JU）的图象关于点（一i,I）对称.课堂小结1 .记牢2个知识点利用奇偶性求函数解析式.利用奇偶性和单调性比较大小，解不等式.2 .理解2个特点（1）奇函数在Id句和一儿一网上具有相同的单调性.（2）偶函数在,b-h,一网上具有相反的单调性.3 .注意1个误区解不等式易忽视函数的定义域.分层训练素养提升I基础达标I一、选择题1 .如果奇函数7U）在区间3,1上是增函数且有最大值5,那么函数7U）在区间口，3上是（）A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5答案A解析7U）为奇函数，JU）在口，3上的单调性与-3,1上一致且大1）为最小值,又已知人-1）=5,.U）=-5.2 .已知偶函数KV）在区间0,+8）上单调递增，则满