第一课时 指数函数的图象与性质.docx
6.2指数函数第一课时指数函数的图象与性质课标要求素养要求1了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2 .掌握指数函数的图象及简单性质.3 .会用指数函数的图象与性质解决问题.通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.课前预习知识探究自主梳理1 .指数函数的概念函数y=0v(>O,W1)叫作指数函数，它的定义域是R.2 .指数函数y=013>O,z1)的图象和性质a>OVaV1图象-*性质定义域定义域为R值域值域为(0,十8),即对任何实数，都有>0过定点过定点(0,1),图象在X轴上方函数值的变化当x>0时，y>；当x<0时，O<y<1当QO时，0<v<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数对称性>与丁=t)的图象关于诩对称。点造对指数函数的概念的理解定义域是R.规定底数a>0且W1形式上的严格性，形如y=x(a>O,a#1).自主检验1 .思考辨析，判断正误函数y=2"是指数函数.(X)提示因为指数不是居所以函数y=2'+不是指数函数.(2)函数)，=(一5)X是指数函数.(X)提示因为底数小于0,所以函数y=(5>不是指数函数.(3)y=a>0,W1)的最小值为O(X)提示因为指数函数的图象都在/轴上方，故值域为(O,+),没有最小值.(4)若函数火x)=(-1)0x是指数函数，则=2.(J)2 .下列函数中一定是指数函数的是()Aj=(-4)，Bj=(I)CJ=2X3'DJ=X3答案B解析n=(一4尸的底数一4<0,不是指数函数；y=2X3'中3'的系数等于2,不是指数函数；y=x3中自变量R在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的定义知，只有y=(g)是指数函数.3 .指数函数y="与y="的图象如图所示，则()y=«y/'=a'A.<O,b<0_o×B.<O,b>0C.O<d<1,b>D.O<d<1,O<Z?<1答案C解析结合指数函数图象的特点可知O<<1,b>.4 .若函数“X)是指数函数，且42)=2,则儿E)=.答案(2>r解析由题意，设段)=d(>0,a1),则由«2)=2=2,得a=y,所以Kr)=(2课堂互动题型剖析题型一指数函数的概念【例1】(1)给出下列函数：y=-3"；y=3*+;y=3"y=x-3；y=(-2广其中，指数函数的个数是()A.0BJC.2D.4(2)已知函数段)是指数函数，且卜习=米则<3)=.答案(I)B(2)125解析(1)中，3'的系数是一1,故不是指数函数；中，y=3/的指数是X+1,不是自变量心故不是指数函数；中，3'的系数是1,累的指数是自变量X,且只有3”一项，故是指数函数；中，y=3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数一2<0,不是指数函数.,3、353(2)设於)=优3>0,a1)f由人一H=W=去=51故。=5,故段)=5。所以7(3)=53=125.思维升华1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数。为大于。且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量”;(3)户的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a,并注意。的限制条件.【训练1】若函数)，=后(24X是指数函数，则()A.0=1或-1Ba=IC.a=1D4>O且。W1(2)已知指数函数於)的图象过点(3,),则函数7U)的解析式为.3答案(I)C(2VU)=(而尸ra2=1t解析(1)由条件知<24>0,解得Q=-1、2a1,(2)设yU)=0v3>O,a1)f将点(3,)代入,得到/(3)=,即03=,解得=3于是TU)=(而H题型二指数函数的性质角度1函数图象过定点【例2】函数yU)=2arN3(>0,1)的图象恒过的定点是.答案(一1,-1)解析因为的图象过定点(0,1),所以令x+1=0,即x=-1,则八一1)=-1,故於)=2"+-3的图象过定点(一1,-1).角度2函数的定义域、值域【例3】若函数yu)=2'+3,x2,3,则函数y的值域为.(2)函数U)=2的值域是.答案(1)7,11(2)(-1,+8)解析(1)由题意知函数7U)=2'+3在R上是增函数，且x2,3,2*4,8,故外)的值域为7,11.(2)J(x)=2x-=-1,由于(g)w(O,+),：值域为(-1,+).角度3由单调性比较大小【例4】比较下列各组数的大小：.()<<1,函数)，=(I)在(一8,十8)上是减函数.又一0.24>今.D<()t(2)考查函数)=(5).函数y=g)在(一8,+8)上是减函数，-<0,.Q>Q=1.一22O.8Y)=g).Y函数y=0在(一8,十8)上是增函数，(02<)，即02<82思维升华(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求出对应的)，的值，即可得函数图象所过的定点.(2)合理利用指数型函数的单调性、图象的变化规律及中间值进行幕的大小判断.(3)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小.【训练2(1)函数y=a11-4(a>0,W1)的图象恒过点，值域为（2）已知=O3人=（，,C=Qj，则,b,C的大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c答案（一/一3）（-4,+）（2）B解析（1）当2x+1=0,即R=-B时，42rH=°=1为常数，此时y=14=3,即函数y=p+-4的图象恒过点（一/一3）.又0+>O,产44.“、0.3”、0.2（2）*.*Z>=I2<c=11jI，=0.32>1,，4>c>。故选B.题型三指数函数的图象变换例5画出下列函数的图象，并说明它们是由函数U)=2、的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=21;(2)y=2"+1;(3)y=2叫(4)y=2t-1;(5)y=-2x;(6)y=-2-x.解如图所示.(Dy=2厂1的图象是由y=2、的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)y=2'+1的图象是由>=2、的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)y=2R的图象是由y=2*的y轴右侧的图象和其关于y轴对称的图象组成的，包括y轴上的(O,1)点.(4)y=2'-1|的图象是由y=2、的图象向下平移1个单位长度，然后将其X轴下方的图象翻折到X轴上方得到的.(5)y=-2'的图象与y=21的图象关于无轴对称.(6)y=TX的图象与y=2的图象关于原点对称.又2一”=(，所以也可用y=(；)的图象沿X轴对称而得.思维升华函数图象的变换规律(1)平移变换：将函数y=7(x)的图象向右平移皿7>0)个单位长度得函数y=J(xM的图象(若机<0,就是向左平移I刑个单位长度)，将函数y=y(x)的图象向上平移(心0)个单位长度，得到函数y=+的图象(若<0,就是向下平移I川个单位长度).(2)对称变换：函数y=4%)的图象与函数y=/(一幻的图象关于y轴对称，函数y=«r)的图象与函数y=/U)的图象关于X轴对称，函数y=(x)的图象与函数=/(一/)的图象关于原点对称；函数y=(x)是一个偶函数，其图象关于y轴对称，是将函数y=(x)位于y轴右侧的图象保留（左侧的擦去），然后将y轴右侧的图象沿y轴对称到左侧，就得到函数>=逐仅|）的图象；函数y=（x）的图象是将函数y=7（x）的图象在X轴下方的部分沿X轴翻折到上方，X轴上方的部分不变.【训练3如图是指数函数y=0v;y=；y=F;y=d'的图象，则mb,c,d与1的大小关系是（）.a<b<<c<dB.b<a<<d<cC<a<b<c<dD.a<b<<d<c（2）函数yu）="”的图象如图所示，其中小b为常数，则下列结论正确的是（）A.>1,XoB.>1,b>0C.0<6f<1,b>0D.0<<1,b<0答案（I）B（2）D解析（1）可先分两类，的底数大于1,的底数小于1,再由图象比较C,d的大小，由图象©比较小的大小.在y轴右侧，当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象越靠近y轴，当指数函数的底数大于0且小于1时，图象下降，且底数越小，图象越靠近X轴（即用JV=I截图，底大图高），故选B.从曲线的变化趋势，可以得到函数式外为减函数，从而有0<<1;从曲线位置看，是由函数y="（O<<1）的图象向左平移I一例个单位长度得到，所以一AX）,即XO（或令X=O得/1即/4°,又0<<1,一力>0,即X0）.课堂小结1 .树立1种意识底数a分类讨论分类讨论意识：分和OVaVI两种情况.2 .掌握1个概念指数函数概念判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y=m>0,W1）这一结构形式，即？的系数是1,指数是X且系数为1.3 .注意1个易错点易忽视>0且W1.分层训练素养提升I基础达标I一、选择题.(多选题)若函数y=(5T”>o,是指数函数，则下列说法正确的是()A.=8B(O)=-3C7)=22D.=4答案AC解析由%3=1,二。=8,即/(x)=8',火0)=1艰=t=2i2 .若函数y=(12)是实数集R上的增函数，则实数。的取值范围为()A生+8)B.(-,0)c18,0D.(W3答案B解析»=(12)x是R上的增函数，则12G4,/.<0.若於)=(3),xR,那么犬幻是()B.偶函数且在(0,+8)上是增函数C.奇函数且在(0,+8)上是减函数D.偶函数且在(0,+8)上是减函数答案D解析由XR且五一X）=/&）知yu）是偶函数，当x>0时，火x）=（g）是减函数.4I74.若=（小）；，6=9。=8后则有（）A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b答案Bz-4212O222解析因为=（S）,=3。b=9g=3J且1>亍>§,所以3>3,3.即3>>b.又C721=8m=2>4,所以c>a>b.5 .函数。/1）的大致图象可能是（）解析如果函数的图象是A,那么由得=0,这与。>0且W1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B,那么由"一<0,得0<0,这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C,那么由0<1<1,得0<<1,且H。=0,故C可能；如果函数的图象是D,那么由"一<0,得0<0,这是不可能的，故D不可能.二、填空题6 .若函数y=（g）在2,1上的最大值为m最小值为，贝Jm+"=.答案6解析由指数函数y=（；）的图象可知函数在X=-I处取最小值为2,在X=-2处取最大值为4.；m=4,n=29从而加+=6.
