第8章 81 812 用二分法求方程的近似解.docx
8.1.2用二分法求方程的近似解1 学习任务核心素养2 .通过实例理解二分法的概念.（难点）3 .了解二分法是求方程近似解的常用方法.4 .能够借助计算器用二分法求方程的近似解.（重点）借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理、数学建模和数学抽象的核心素养.情境与问题:通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数於）=1nx+2r-6零点的近似值（精确到0.1）.知识点1二分法的定义对于在区间小一上的图象连续不断J1危/）AbXO的函数=/U）,通过不断地把函数/U）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即於）=0的近似解的方法叫作二分法.（体验观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（）答案A知识点2用二分法求方程的一个近似解的操作流程以上操作过程中，如果存在C,使得k)=o,那么。就是方程yu)=o的一个精确值.(提Bii用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值.如求应r)=g(x)的近似解时可构造函数(x)=U)-g(x),将问题转化为求(x)的零点近似值的问题.体验2.思考辨析(正确的打“',错误的打“X”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.()(2)函数HX)=IX1可以用二分法求零点.()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y=yu)在m,切内的所有零点得到.()提示四句话都是错的.(1)中，二分法求出的解也有精确解，如yu)=x一1在(0,2)上用二分法求解时，中点为X=I,而T(I)=O.(2)中，yu)=x2,不能用二分法.(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧.(4)中yu)在口，句内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解.答案(I)X(2)×(3)×(4)X类型1“二分法”的概念【例1】下列函数图象与X轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是（）D根据二分法的基本方法，函数TU）在区间口，口上的图象连续不断，且Ha）4。）0,即函数的零点是变号零点，才能将区间口，句一分为二，逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值.故选D.厂dS1思领悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.跟进训练.已知函数Ar）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（）D图象与X轴有4个交点，所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3,故选D.1 .关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是（）A. “二分法”求方程的近似解一定可将y=x）在。，切内的所有零点得到B. “二分法”求方程的近似解有可能得不到y=(x)在,引内的零点C.应用“二分法”求方程的近似解，y=(x)在,引内有可能无零点D.“二分法”求方程的近似解可能得到火X)=O在如切内的精确解D如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，JA错误；二分法的实施满足零点存在定理，在区间内一定存在零点，B错误：C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，.C错误：“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，.D正确.类型2用“二分法”求方程的近似解【例2利用计算器，求方程InX=2X的近似解(精确到0.1).解分别画出函数y=1n1和y=2X的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程InX=2X的解.由函数y=1nx与y=2-的图象可以发现，方程InX=2一工有唯一解，且这个解在区间(1,2)内.设/U)=1nx+-2,则函数7U)的零点即方程InX=2一工的解，记为刈，利用计算器计算得1)<0,2)>Oxo(1,2);1.5)<0,12)>00jvo(1.5,2);1.5)<0,i.75)>O=>xo(15,1.75);1.5)<0,7(1.625)>O=>xo(1.5J.625);y.5)V0,y(1.5625)>Oxo(1.5,1.5625);7(1.53125)<0,y(1.5625)>Oxo(1.53125,1.5625);7(1.546875)<0,y(1.5625)>0=>xo(1.546875,1.5625);7(1.5546875)V0,火1.5625)>00xo(1.5546875,1.5625);因为1.5546875与1.5625精确到0.1的近似值都为1.6,所以方程InX=2-的近似解为xo¾1.6.厂辰思领悟用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程次0=0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如段)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=U)-g()=o的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.IJ跟进训练3.求版的近似值.(精确到0.1)解强是x3=2的根，因此可构造Kr)=/-2,问题转化为“求段)的零点的近似解”.用二分法求其零点.由KI)=1<0,y(2)=6>0.故可取区间1,2为计算的初始区间.用二分法逐次计算，如下：0<0,巾5)>O0x(1,15),.1.25)VO,犬1.5)>0=>x(1.25,1.5),艮1.25)<0,/1.375)>0x(1.25,1.375),艮1.25)<0,i.3125)>0x(1.25,1.3125),因为1.25与1.3125精确到0.1的近似值都为1.3,所以1.3是能精确到0.1的近似值学习效果-课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到£的说法正确的是()A. £越大，近似解的精确度越高B. £越大，近似解的精确度越低C.重复计算次数就是£D.重复计算次数与E无关B依“二分法”的具体步骤可知，£越大，近似解的精确度越低.2.在用二分法求函数7U)零点近似值时，第一次取的区间是2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,41B.-2,1C. -2,2.5D.-0.5,1D因第一次所取的区间是所以第二次所取的区间可能是-2,1,1,4；第三次所取的区间可能为一2,-0.5,-0.5,1,1,2.5,2.5,4,只有D在其中，故答案为D.3 .已知函数y=U)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是X3因为JG左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解.4 .用二分法求函数y=U)在区间(2,4)上的近似解，验证穴2)式4)<0,精确到0.1,取区间(2,4)的中点X1=2+4亍=3,计算得火2MJa)V0,则此时零点.(填区间)(2,3)由火2)贸3)<0可知，xo(2,3).5.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测,ACIi6第1次取中点把焊点数减半为券=32,第2次取中点把焊点数减半为苧=16,第3次取中点把焊点数减半为竽=8,第4次取中点把焊点数减半为5=4,42第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为2=1,所以至多需要检测的次数是6I一IEB昌QD囹1回顾本节知识，自我完成以下问题.1 .用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示(IyU)在区间(4,加上的图象连续不断.(2)在区间(/力端点的函数值式幻火。)<0.2 .使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？提示零点存在定理.I
