第6章 62 第2课时 指数函数的图象与性质的应用.docx

第2课时指数函数的图象与性质的应用学习任务核心素养1 .能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题.(重点、难点)2 .能应用指数函数及其性质解决实际应用题.(难点)1 .借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理、数学运算核心素养.2 .通过指数函数研究实际问题，提升数学建模素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养【情境与问题:请画出y=2*,>=(；)图象，归纳出函数y=y=，"的图象与它们具有哪些相同的特征？知识点指数型函数形如y=5(ZR,且y0,。>0且Q1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.设原有量为M每次的增长率为p,经过X次增长，该量增长到则y=M1+0尸CxEN).(体验李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款。万元，银行贷款利率为月息P,银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时,连本带利共需要还款金额为万元.d(1÷p)2°一个月后(1+p),二个月后(1+p)(1+p)=(1+p)2,，今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为(1+p)2。万元疑难问题解惑学科素养形成关键能力合作探究释疑难C类型1求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域：1I2(i)y-2jc_4;(2)y-i2;(3)y-y解1由X4W0,得x4,故y2丫_4的定义域为MW4.1又戈即"4h1故y=/4的值域为比>0,且)，21.(2)由1,得2Y1,xO,)'=12、的定义域为(-8,O.由0<2'W1,得一1W2r<0,01-2x<1,.Ru/-2的值域为0,1).(3)，=(，2X3的定义域为R.Vx2-2x-3=(-1)2-4-4,.(I23<=-r2-2-3又国>0,x2-2-3故函数y=gj的值域为(0,16.(4)函数=4+2+2-3的定义域为R.设r=2r,则r>0.所以y=r2+4-3=(r-因为函数y=r2+43=(7+2)2-7在(0,所以y>3,即函数的值域为(-3,+o°母题探究12-3；(4)y=4r+2r+2-3.+2)27,/>0.+8)为增函数，).1.若将本例(2)中函数换为y=1求其定义域.解由(3INO得g)>(9,即函数的定义域为(-8,O.2.若将本例(4)增加条件"0<xW2"，再求函数的值域.解由于x0,2,则2*=f1,4,.)，=产+4f-3=(f+2)27,f1,4,函数y=r2+413=(+2)2-7在1,4为增函数，故)，2,29.反思领悟1 .对于V=""这类函数(1)定义域是指使於)有意义的X的取值范围.(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出=«¥)的值域；利用指数函数y=”的单调性或利用图象求得函数的值域.2 .对于y=机(*)2+"(4X)+p(mW0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解.跟进训练1(1)函数,/U)=q二示昌的定义域为.(2)求函数y=4r2】r+i在五e-3,2上的最大值和最小值.1一2。0,(To/+3>0,得一3a0所以函数的定义域是(-3,0.解y=4-x-2'-x+1=(-2G)+1=陟-1Vx1-3,2,.y0,49,即最大值为49,最小值为0.口类型2指数型函数的应用题例2某市现有人口总数为IOO万人，如果年平均增长率为1.2%,试解答下列问题：(1)试写出X年后该城市人口总数M万人)与年份M年)之间的函数关系式；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人).(参考数据：1.012H)E.127)思路点拨本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N,年平均增长率为P，则对于X年后的人口总数y,可以用y=M1+p)*表示.解(1)1年后城市人口总数为：y=100+100×1.2%=100(1+1.2%),2年后城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2,同理3年后城市人口总数为y=100(1+12%)3,故工年后的城市人口总数为y=100(1+1.2%)(2)10年后该城市人口总数为：>'=1OO(1+1.2%)io=1OO×1.O12io1OO×1.127比113(万人).故10年后该城市人口总数约为113万人.厂反思领悟解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验，将数学问题的解代人实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答.KJ跟进训练2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么X年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于X的函数解析式.解设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克，人口数量为M(1+1.2%).则人均占有粮食为360M(1+4%)M(1+1.2%)千克,经过2年后，人均占有粮食为360(1+4%)2占M(1+1.2%)2千克，经过X年后，人均占有粮食为_360M(1+4%yV=M(I+1.2%)X千克'即所求函数解析式为y=36(j制(xN*).口类型3指数函数性质的综合应用-21+h例3已知定义域为R的函数yu)=5F是奇函数.(1)求，6的值；(2)若对任意的，R,不等式灯一2r)+Qr2T)vO恒成立，求女的取值范围;(3)求在上的值域.思路点拨(1)根据奇函数的定义，求出a,4(2)利用单调性和奇偶性去掉“尸解不等式求力的范围.(3)利用(2)中单调性求兀0的值域.解(1),函数y=«x)是定义域R上的奇函数，.)=o,-i)=-i),I2°+-21+Z?22+a,9.b=1,a=2.12'11(2)由(1)知J(x)=2(2叶1)=2+27+T,设XI,也金区且的加，、，112x2x2则fix2)-/Xi)=2x2+1-2xi+1=(2x2+1)(2xi+1)<0,JU)在定义域R上为减函数，由五户一2。+42产-Z)<0恒成立，可得X产-2r)<-fi2t1-k)=J(k-2r2),*.t1-2t>k-2pt3一2，一上>0恒成立，J=(-2)2+12R0,解得<一；，:k的取值范围为(一8,Ij.(3)由(2)知7U)在R上为减函数，U)在上为减函数，(x)max=(-1)=-+T=不fi.X)min=ft2)=一2+4+=一行，1,辰思领悟与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.J跟进训练3.设心0,函数段)=9+/是定义域为R的偶函数.(1)求实数。的值；(2)证明：危)在(0,+8)上是增函数.解(1)由yu)=A一无)，产殳工4_旦旦付4十中一a十4”所以（4-g（»=o,根据题意，可得十一。=0,又白0,所以=1.（2）证明：由（1）可知外）=4'+*,设任意的XI,X2（0,÷°o）,且XX2,则TU1）-/X2）=4x+卷-4X2一七（1、=_4、2）1-rr.7412J因为0<X<X2t所以4x<4x2,所以4xi4x2<0.又1+x2>0,所以4xi÷X2>1,14'1+x2-1所以1-=1>0,4r+x24、2所以/（XI）-y（X2）0,即於D勺（.于是知於）在（0,+8）上是增函数.口类型4复合函数的单调性【例4判断於）=（护一2X的单调性，并求其值域.尝试与发现y=g）与y=一2x的单调性分别如何？提示Iy=（g）在R上是减函数y=f2%在（-8,1上是减函数，在0,+8)上是增函数.解令=X2-2x,则原函数变为y=jJ.*.*u=x2-2x=(x-I)21在(-8,1上是减函数，在1,+8)上是增函数,又,1=(；)在(-8,+8)上是减函数，x2-2x.y=(jJ在(一8,1上是增函数，在1,+8)上是减函数.(FWG)I=3,原函数的值域为(0,3.辰思领悟1 .关于指数型函数y=)(>O,且W1),它由两个函数丁=小=心)复合而成.其单调性由两点决定，一是底数G1还是0<<1;二是/)的单调性.2 .求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=("),u=(x)9通过考查加。和8(x)的单调性，求出y=y(°(x)的单调性,其规则是“同增异减”.IJ跟进训练4.函数y=3«rX2的减区间是,值域为.11,3由彳-/20得函数y=35zF的定义域为OWXW1,令y=3,1fu=y-j?,因为y=3"在R上是增函数，"=.1x2在1上是减函数，所以函数y=3-f的减区间是1,的值域为1,3.1.A.C.学习效果课堂评估夯基础函数fix)=W-3"+京1的定义域为()(-5,0)(-5,0B.-5,0)D.-5,0课堂知识检测小结问题1-30,1.,.5<x0.x+5>0t2.岁,则加)的值域为()A.(0,1B.(1,2C.(0,+)D.(-,0)卧”2甘PY=V所以其图象由y=5(x20)和)，=0,2*<o)的图象合并而成.如图.所以“X)的值域为(0,1.O,+°o)令y=3",u=2-2x2f因为y=3"在R上是增函数，u=2Zv2在0,+8)上是减函数，所以)，=32-2/的减区间是0,+).4 .某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2018年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：Ig1.120.05,Ig1.30.11,Ig20.30).2023设第年开始超过200万元，则130X(1+12%)12°i8>200,化简得,Ig2Ig1.3rr(-2018)1g1.12>1g2-1g1.3,即一2018>-=3.8,取=2022