第6章 62 第1课时 指数函数的概念图象与性质.docx

6.2指数函数学习任务第1课时指数函数的概念、图象与性质1 核心素养2 .理解指数函数的概念.（重点）3 .掌握指数函数的图象和性质,（重点）4 .能够利用指数函数的图象和性质解题.（重点、难点）5 .掌握函数图象的平移变换和对称变换.1 .通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养.2 .借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养.【情境与问题:某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次（1个分裂成2个），那么经过3h,这种细菌由1个可分裂为几个？经过xh,这种细菌由1个可分裂为几个？知识点1指数函数的概念一般地，函数V=出（>0,W1）叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>0<6Z<1图象y尸1二7y=a,(a>1)a(0<«<i)(0,1)y=1OX午性定义域R值域(0,+8)定点图象过定点包D，图象在工轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<v<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(一8,+8)上是增函数在(一8,+8)上是减函数奇偶性非奇非偶函数思考机.指数函数)，=出m>o且QWI)的图象“升”“降”主要取决于什么？提示指数函数y=ax(a>O且W1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当Gd时，图象具有上升趋势；当0<<1时，图象具有下降趋势.思考初,为什么底数应满足。>0且提示当0时，出可能无意义；当a>O时，X可以取任何实数；当=1时，v=1(xR),无研究价值.因此规定y=0v中4>0,且W1.体验M思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)(1)函数y=32'是指数函数.()指数函数的图象与X轴永不相交.()(3)函数y=2i在R上为增函数.()(4)当时，对于任意xR总有优>1.()提示(1)y=32'的系数为3,故y=32不是指数函数.(2)指数函数的值域为(O,+),故它与X轴不相交.(3)，=2一工=(，是减函数.(4)a>1,若x<0,则av<1.答案(1)×(2)(3)×(4)×体验,2.若指数函数大处的图象过点(3,8),则人笛的解析式为()A.J(X)=X3B.於)=2'X1c.於)=(，D.)=3B设/U)=0A(Ao且W1),则由13)=8得/=8,.a=2f，於)=2",类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()y=(-8)r;y=2x2-1；y=23EA.1B.2C.3D.O(2)已知函数应0为指数函数，且一|)=乎，则火-2)=.(I)D(2)|中底数一8<0,所以不是指数函数；中指数不是自变量了,而是X的函数，所以不是指数函数；中底数d只有规定G>0且01时，才是指数函数；中3'.前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数，故选D.(2)设人¥)=炉(。>0且。¥1),由(E=9，所以。=3,又|一2)=/2,所以如-2)=3-2='1 辰思领悟1 .判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点(1)底数是大于O且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)Ov的系数必须为1.2 .求指数函数的解析式常用待定系数法.跟进训练1 .若函数y=(23+3)炉是指数函数，则实数=.34+3=1,2 由题意知Vrt-解得=2.Iax)且1,3 .已知函数段)是指数函数，且一2=雪，则大3)=125设兀V)=OV(4>0,且W1),所以=5,即危）=5*,所以/（3）=53=125.。类型2利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小:思路点拨1观察底数是否相同（或能化成底数相同），若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小.M1y=g）在定义域R内是减函数,又一1.8>2.6,（2）0<v1,y=e）在定义域R内是减函数._2(3)V0.62>0.6o=bf1叉勘=1_2.0.6-2卷)30.3(4)V=3一°普y=3"在定义域R内是增函数，又一0.3一0.2,3o3<3o2,.啕<3o2.(5)由寐函数的单调性，O.2o6<O.3o6,又)，=0.3,是减函数，.O.3°4>O.3°6,从而O.2o6<O.3o4.X112."U)=住)在R上为减函数，停y4."W=/在(0,+8)上为增函数，1辰思领悟在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.(2)底数不同、指数同：利用黑函数的单调性解决.(3)底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如不与例，可取前者利用单调性，后者利用图象.跟进训练3.比较下列各组数的大小:1.9F与1.9-3；(2)0.6°4与0.4%解(1)由于指数函数)，=19在R上是增函数，而一兀v-3,1,9<1,93.(2).y=0.6x在R上是减函数，O.6o4>O.6o6.又在y轴右侧，函数y=0.6A的图象在y=0.4r图象的上方,O.6o6>O.4o6,O.6o4>O.4o6.3121O<0,即>1,2，>1,0<即<1,又在y轴右侧，函数y=(g)的图象在y=4'的下方，1 1,邯a*,I：类型3利用指数函数的单调性解不等式【例3】(1)解不等式传)2;已知r2-3x+IVa16(q>o,且。/1).一311解(1)V2=,原不等式可以转化为冏Wa.y=(3)在R上是减函数，.*.3x1-1,xO,故原不等式的解集为xx20.(2)分情况讨论当O<<1时，函数TU)=OV3>0,W1)在R上为减函数,x2-3x÷1>x÷6,x2-4x-5>0,根据相应二次函数的图象可得x<-1或>5.当G>1时，函数1X)=(G>0,在R上是增函数，x2-3x+1<x+6,x2-4-5<0.根据相应二次函数的图象可得一14<5,综上所述当O<v1时，x<-1或Q>5,当>1时，-I<v5.辰思领悟1 .形如的不等式，借助y=0'的单调性求解，如果。的取值不确定，需分”>1与OVaV1两种情况讨论.2 .形如优>力的不等式，注意将匕化为以为底的指数基的形式，再借助y=出的单调性求解.跟进训练4.若优一乂工)(>0且z1),求X的取值范围.(、5一31解因为。1i>y,所以>加厂5.当。>1时，y="t为增函数，可得x+1>3-5,所以x<3.当O<<1时，y='为减函数，可得x+1<3x5,所以X>3.综上，当时，X的取值范围为(一8,3);当O<v1时，X的取值范围为(3,+).13类型4图象变换及其应用【例4】(1)函数)，=3一的图象是.(填序号)(2)已知OVaV1,b<-f则函数y=。+的图象必定不经过第象限.(3)函数y(x)=2«i3(>0且W1)的图象恒过定点.思路点拨I(1)中可将y=3r转化为)，=停).(2)中，函数y=+。的图象过点(0/+切，因为bV1,所以点(0/+力在)，轴负半轴上.(3)应该根据指数函数经过定点求解.(2)-(3)(-1,-1)(1)y=3r=(?在R上是减函数，其图象为(2)函数y=6T(0VV1)在R上是减函数，图象过定点(0,1),所以函数y=*十的图象在R上单调递减，且过点(0/+b).因为bV-1,所以点(0/+力在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限.(3)令x+1=0,得x=1,此时y=2°-3=-1,故图象恒过定点(一1,1).厂辰思领悟1 .处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(01).(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.2 .指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.跟进训练5.已知yu)=2'的图象，指出下列函数的图象是由y=(-)的图象通过怎样的变化得到：(1)y=2r+1;(2)=2x1;(3)y=2*+1;(4)y=2"(5)y=2叱解(1)y=2'+的图象是由)，=2'的图象向左平移1个单位得到.(2)，=2厂1的图象是由y=2'的图象向右平移1个单位得到.(3)y=2t+1的图象是由),=2'的图象向上平移1个单位得到.(4)Vy=2x与y=2的图象关于y轴对称，作)，=2工的图象关于)，轴的对称图形便可得到y=2的图象.(5)，=2瓜为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x20时，y=2x的图象，再作关于y轴的对称图形，既可得到)，=23的图象.学习效果课堂评估夯基础课堂知识检测小结问题点评1 .(多选题)下列所给函数中为指数函数的是()A.y=4xB.y=x2C.y=22xD.y=3ADA是指数函数，B中自变量的位置不对，C中系数不为1,D符合.2.若函数丫=（浮一加-1）律是指数函数，则机等于（）A.-1或2B.-1C.2D.Im1-m-1=1,C依题意，有CH,11加>0且机手1,解得"7=2（舍加=-1）,故选C.13.函数y=24go）的图象必过定点.&3）令x-3=0得a=/,当X=W时，y=2+1=3,故过定点&3）.4.1一（；）20的解集为.0,+co）1=（，原不等式可化为（；）一（；）20,即&）,又兀0=（；）为减函数，.,x20.5.於）为指数函数，若於）过点（一2,4）,则欢T）=.I设«¥）=出（>0且。W1）,所以八-2）=4,/2=4,解得a=,所以外）=0,一1所以人一I）=2,所以欢T）=/=©=；.IH晓昌DD囹1回顾本节知识，自我完成以下问题.1 .判断指数函数的标准是什么？提示符合y=O（4>0且H1）这种形式，即炉的系数为1,指数是X且系数为1.2 .怎样理解指数函数的性质？提示指数函数的性质分底数。>1,0<<1两种情况，不论哪种情况，指数函数都是单调的.3 .怎样解形如优的不等式？4 提示借助y=0'的单调性求解.5 不确定，分或0<<1两种情况讨论.I，