第3章 32 321 基本不等式的证明.docx

3.2b0)学习任务3.2.1基本不等式的证明核心素养1 .了解基本不等式的证明过程.（重点）2 .能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.3 .能利用基本不等式求简单函数的最值.（难点）1 .通过不等式的证明，培养逻辑推理素养.2 .借助基本不等式求简单的最值问题，提升数学运算素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养情境与问题:某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价.甲方案是第一次打P折销售，第二次打q折销售，乙方案是第一次打夕折销售，第二次打折销售，两方案是两次都打弯折销售,请问哪一种方案降价最多？知识点1算术平均数、几何平均数与基本不等式（1）算术平均数与几何平均数对于正数小b,我们把号称为小b的算术平均数，胆称为a,b的几何平均数.（2）基本不等式如果小是正数，那么%W审（当且仅当伫历时，等号成立），我们把不等式丝5=S,820）称为基本不等式.思考，如何证明不等式声忘亍3,b20）?提示因为+b2/=（或）2+（福）22g也=（W-也）220,当且仅当=b时，等号成立，所以a+b2yabt所以当且仅当=Z?时，等号成立.体验）1.设占y满足x+y=40,且X,y都是正数，则xy的最大值为,此时X=,y=.4002020由四三哆。知而，W当，所以XyW400,此时x=y=20.知识点2两个重要的不等式片+从若小Z?£R,则（1）ab-2-，即/+b222ab（当且仅当=Z?时，等号成立）；（2）bw（W）（当且仅当。=Z?时，等号成立）.思考2.当。、b满足什么条件时，a2+b2=2ab?a2+b2>2ab?提示当。=时，a2+b2=2ah,。、时/+户>2出?.体验£2.不等式。2+122。中等号成立的条件是.a=当02+1=2,即（a1）2=0,即=1时“=”成立.知识点3应用基本不等式求最值在运用基本不等式我字求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等”.一正：a,匕是正数.二定：和。+匕一定时，由%wW"变形得HW（W/了，即积弛有最居仅+公（2大值G-J;积4b一定时，由变形得即和+b有最小值2/.三相等：取等号的条件都是当且仅当=b时，等号成立.体验3.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)对任意4,R,a2+b22ab,均成立.(2)若>2,则a+!22yja：=2.()(3)若a>0,b>Of则出?W传B.()提示(1)任意，Z?ER,有q2+22而成立，当4,时，不等式Q成立.(2)根据基本不等式，才有不等式成立，当且仅当4=1时。1C1取等号.(3)因为4茄(W",所以6(W").答案(1)×(2)×(3)关键能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养类型1对基本不等式的理解【例1】给出下面三个推导过程：因为小人为正实数，所以9+£22*1=2；4G-因为R,a0f所以吃+422'/4=4；3Mc因为X,yR,y<O,所以卅=-+(Tk-(T=-2.其中正确的推导为()A.B.C.D.B因为,b为正实数,所以,彳为正实数，符合基本不等式的条件,故的推导正确.因为0,不符合基本不等式的条件,所以是错误的.由孙VO,得向）均为负数，但在推导过程中将整体j+J出负号后，（一胃、（一§均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.1反思领悟1 .基本不等式7w等320,620）反映了两个非负数的和与积之间的关系.2 .对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：（1）定理成立的条件是必人都是非负数.3 2）“当且仅当”的含义：当=b时，的W等的等号成立，即等=yab;仅当。=力时，的等号成立，即=b.IJ跟进训练1.下列不等式的推导过程正确的是.（填序号）若x0,则R22x1=2;若vo,则x+:=_（_x）+（_：）w-2J（-x）（-4;若,0R,则£+注2J=2.中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.口类型2利用基本不等式比较大小【例2】已知m=。+（。2）,=（，+§+5（mZ7（0,÷o°）,试比较阳、的大小.解1w=«+Z=（-2）+12）+2,Va>2t2>0,。_2双机=-2+¼+222/（6z-2）-½-+2=4,。一2（。一2）当且仅当a2=-二时等号成立，a2此时=3.n4."=Y+3+5W-24j+5=3,当且仅当a=h时等号成立.综上m>n.广反思领悟1 .在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2 .运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即。+。22幅成立的条件是420,等号成立的条件是。=匕；/+加?力成立的条件是8R,等号成立的条件是。=从IJ跟进训练3 .如果OVaV6V1,P=%与Q=yab,M=a+b,那么P,。，M的大小顺序是（）A.P>Q>MB.M>P>QC.Q>M>PD.M>Q>PB显然一又因为六一V<0不由a+Z?>,也就是由一V1可得），所以后吃>色芋>我.故M>P>Q.口类型3利用基本不等式证明不等式【例3】已知，b,C是互不相等的正数，且+b+c=1,求证：+3+->9.c思路点拨看到+>>9,想到将“1”换成“a+b+c”,裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明.证明因为，/?,C是正数，且+h+c=1,所以鸿+9=+Z?+Ca+/?+<?+/?+<?abc1b.c.a.c.a.b=3+a+a+b+b+=3+2÷2+2=9.当且仅当=b=c时取等号，又因为4,b,C互不相等，所以5+%9母题探究本例条件不变,求证：七一1)|一俳-1)>8.证明因为,b,C是正数，且+8+c=1,“1Z?+c1a+c1a+b所以一1=0,1=7>0,1=0,aabbcc所以(H(H(M+C+c+Z?ahcabc当且仅当a=b=c时取等号，因为，b,c互不相等，所以（m>”>81反思领悟1 .条件不等式的证明，要将待证不等式与己知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系.2 .先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.跟进训练3 .已知,b,C为不全相等的正实数.求证：a-b+c>yab+ybc+yca证明V0>O,Z?>0,c>0,.9.a+b2yab>Ofb+c2ybc>0fc+a2yfca>0.9.2(a+b+c)2(yab+ybc+yca)f即a+b+cyab+yfbc+yfca.由于,biC为不全相等的正实数，故等号不成立.a+b+c>ab+ybc+yfca.门类型4利用基本不等式求最值12【例4】(1)当x>0时，求+4x的最小值；12当x<0时，求?+4x的最大值；Q(3)当心>1时，求2x+的最小值；X1(4)已知4x÷(>0,0>0)在x=3时取得最小值，求的值.人12解(1)Vx>0,.,.>0,4x>0.12/io-+4x2/4x=83.12当且仅当；=4x,即工=小时取最小值83,12/.当x>0时，+4x的最小值为8小.(2)Vx<0,->0.则昌+(-4x)22J巴.(一4x)=85,当且仅当三=一4X时，即X=一小时取等号.-+4x-83.12；当x<0时，:+4X的最大值为一8小.84(3)2x+-=2(-1)+J+2,Vx>1,-1>0,Q2+U22X25+2=10,4当且仅当R-I=-7,即X=3时，取等号.X1当x>1时，2x+-7的最小值为10-1(4)4x+拉2寸1=4也，当且仅当4x=,即a=4x2=36时取等号，。=36.1 反思领悟利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.IJ跟进训练4.(1)已知x<j,求)，=4x2+元、的最大值；(2)已知0<x<,求y=%(12r)的最大值;-4-5x+4(3)已知QO,求函数y=r-的最小值.解1(1)Vx<,.5-4x>0,y=4x2+=-（54x+）+3W2+3=1,当且仅当5-4x=g,即x=1时，上式等号成立，故当X=I时，'max=1.O<x<g,12x>0,1:+1-2PI2111y=4×2x（1-2）4×2）=4X4=T6,:当且仅当2X=1-2A（OaV；）,即尸"时，）>max=七x2+5x+414,、-.），=-=x+-+524+5=9,4当且仅当X=;即x=2时等号成立.+5九+4故y=（Qo）的最小值为9.课堂知识检测小结问题学习效果课堂评估夯基础91 .已知Q0,则:十x的最小值为（）A.6B.5C.4D.399AVx>0,.*.+x2x=6.9当且仅当X=（即x=3时取得最小值6.2 .设小b为正数，且+反4则（）A.÷1B.÷2abab今斗2<4,当且仅当a=bC.abW4C设afb为正数，且a+b2ybt=2时取等号.3 .若。>0,且+6=0,贝J。一3+1的最小值为.4 由4+b=O,tz>O,得b=a,=>O,所以a"+1=a+：+123,当且仅当=1,b=1时取等号.5 .已知H=I,tz>O,b>0,则+b的最小值为.2因为A0,b>0f所以a+b22寸小=2.当且仅当。=8=1时等号成立，故4+力的最小值为2.95.函数y=-+x(其中Q2)取得最小值的条件是.99X=5当x>2时，由基本不等式知y=+X=+(x2)÷J-2-2-99(-2)+28.当且仅当工=X2时取等号，此时x=5(x=-i舍去).f4隐困ED囹J回顾本节知识，自我完成以下问题.1 .应用基本不等式要注意哪些问题？提示一正二定三相等.2 .应用基本不等式证明不等式的关键是什么？提示关键在于“