恒成立问题中的主元变换.docx
恒成立问题中的主元变换法偏导数是高等数学中多元函数微分学里的重要概念之一.例如二元函数.v=f(y),其偏导数的基本求法便是：对工求导时，就假定y是常数，仅对函数y=f(x9y)中所有变元-求导得到f(x,y),对)，求导时，方法亦然.比如：若函数/(x,y)=盯，则求导可得：fx=yf=我们都知道，高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为y=f(x9a)t若将参数。也视为自变量的话，那么y=(x,)就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法.近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2023年天津卷导数压轴题等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决.基于此，本文就通过几个典例来展示主元法的基本应用手法.主元变换在高考中最经典的例子就是2019年浙江卷导数压轴，这个题目很难，我们共赏之，从例2开始，我介绍一些具有操作性的主元变换例子.例1.(2019年浙江卷).已知实数40,设函数f(x)=Inx+而T,X>0.(1)当。=一2时，求函数/O)的单调区间；4(2)对任意ig,+)均有F(X)五，求。的取值范围.e2a解析：(1)当=一1时，f(x)=；1nx+而I,函数的定义域为(0,+”),且：z3I1-377T+2x=(x3)(4x+3)4x2jx+14xx+14xjx+1gjx+1+2x)，因此函数/(x)的单调递增区间是(3,y),单调递减区间是(0,3).(2)由f(1)，-,得o<q更，当o<q也时，f(X)4立,等价于2a442a在一型土匚21nx0,令，=1,典)2j,设g«)=产2M+x-2In/,aaag(x)g(22y)=Syx-4V2V1Tx-2InXP(X)2212,yfy-i-1y/X-JA>+1(X-1)1÷yfx(2,X+21)xJX+1Xxjx+1x>jx+(yx+1)(>x+1+2x)故P(X)p(1)=O,满足题意.Qi)当TMWgg(旧J向泰(N),令4(x)=2>x1nx+(x+1),xy,则夕(X)=-7+1>。，故q(x)在土,；上注：欲证不等式g(P)=4-2T-2InX(),此题以f为主元构造二次函数讨论易行，若以为主元此题函数过于复杂，很难通过求导找到单调性与最值.上面的实例给出了一个很重要的技术手段：必要性探路+主元变换，先必要性探路，得到参数范围后，我们当然也可以变换主元，从简单的视角来证明，下面回到刚考的2023届成都一诊导数压轴.例2.(2023届成都一诊)已知函数/(X)=In(GOM(1)当。=I时，若曲线y=(x)在X=I处的切线方程为y=Zx+Z?,证明f(x)日+/?：(2)若*)-1)ei,求。的取值范围.解析：(1)%(2)由/(1)O=(O,1.Sth(a)=(x-V)ex'a-Inx-Ina,求导/()=(-x)ex-.eaea设,s3=(1-x)et(x)=,Q5z(x)=-xev<0,.,.x>0时，S(X)单调递减，s(x)<S(O)=1XQr(X)=N",令幻=0,得X=I,当OVXVI时,t,(x)<09心)单调递减；当CI时,x/(x)>0,«幻单调递增，.r(x)r(1)=e,故>0,x>0时，(i-x)ex<<e-.a即)<0,.()在(0,+oo)上单调递减，贝!O<1时，(I)=(X-I)FT-Inx.由(1)知，(X-1)/T-InXN0,故OvaV1时，z()O.即(X-I)一1XNIna恒成立.下面这个例子可以看做是2019年浙江卷的弱化版，可以做练习.例3.已知正实数，J设函数/(x)=-x1nx.(1)若=时，求函数/O)在U的值域；(2)对任意实数.芯+a；均有/(x)后口恒成立，求实数。的取值范围.解析：(1)由/(X)=X2-2xInx,得/')=2(x-1一后外，/"")=2(1JN0,所以F(X)在UM单调递增，(x)()=0,所以/在口同单调递增，所以/(x)1,r-2e.所以f*)的值域为1-2e.(2)由题意可得：f(Daf即0<1.事实上，当0<W1时X2-a2xInxay2x-1=当-xInx0»记/='1,设craa8(t)=x2-t-xnx9则Ka)为关于，的二次函数，定义域为1,KO),其对称轴为t="I.4x4+14x2=2x2x2x.t="*<12x22x2'g(t)(1)=x2-y2x-1-XInX,设?(X)=X-1nx,x-X2ix-2x-1(x-1)fx÷z1hx)=1-21-=1XXx当,11,<0,/心)递增；当r+),h,(x)>094()递减，所以")min=以1)=0,即"(x)0,于是有：g")0.所以：0<a.有关函数凸凹性(詹森不等式)背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子来说明双变量中的主元方法.例4.已知函数f(x)=x1nx,若OVaCh，试比较"；八垃与/(学)的大小.解析：不妨设0<。<，f(x)=x1nx,.,/(%)=nr+1,令7(x)=f(a)+f(x)-2f(>/74-1*7-贝!1P"(x)=f,(x)-J)=Inx-加2,当OVXVa时，F,(x)<0；当<x时，Fx)>0,.尸(X)在(OM)上单调增，F(X)在(,+)上单调减，.当x=时，尸(X)的=尸(a)=0,由0<。<仇故F(b)>F(G,则小竺迪/(”2).22例5.设函数/(x)=X1nX.(1)求/(X)的极值；(2)O<a<b,证明：0<f(a)+f(b)-2()<(b-a)n2.解析：(1)函数f(x)=X1ftX9则r(x)=1+力比，(x>0)令r(x)=0,解得：JV=-,且当Xe(0)时，,(x)<0,(1,+oo)时，,(x)>0eee因此：/S)的极小值为八3=-1ee(2)构造函数F(X)=a1na+x1nx一(+x)1n-,x>a9产'(x)=1+nr-/生三一1=加工.<a+x<29F,(x)>0,产(x)在(o,y)上是单调2a+x递增的；故/(b)>F()=O,即：/(。)+/(6)一2/(审)>0另一方面，构造函数(7+Y2xXG(X)=a1na+x1nx一(+x)1n(X-ci)1n2,G(X)=In加2=加<0»2a+xa+xG(X)在(,÷)上是单调递减的,故G(A)<G(a)=0即：f(a)+f(b)-2/()<(b-a1n2综上，0<f(a)+f(b)-2/()<(b-a)1n2.三.习题演练习题1.已知函数/(x)=J,g(x)=nx.X(1)当4>0时，讨论函数F(X)=4(x)-g(x)-'的单调性；X(2)当>1时，求证：W(X)g(v)>(eI)X+1.习题2.已知函数J(X)=a1nx+(x+1)2(wo,>o)(1)求函数/W的单调区间；2(2)对于任意Kq1,+功均有/(x)-O恒成立，求，的取值范围.
