复变函数总结.docx

极限连续导数hm/(z)=A1im(2)=(<-F复变积分孤立奇点类别1aurent展开式的无穷大项充要条件可去奇点无IimTj(Z)=%极点有限个Iimi/(z)=8本性奇点无穷多个IimF/(2)不存在Z(I有界在O<Z-Z0K3展开，20=8在R<z<8#刁在ZO不解析CR条件Ux=Vy偏导数连续必，Uy,Vy,Vx解析：的在zz0K可导f(z)dz=Jim(4)2t1""£=1复数数列收敛等价于U和V分别收敛高阶导数公式级数绝对收敛比值法a=zn+zfJ,a<1收a>1发/=3归净火CI*/奇点u+iv解析，则U和V都是调和函数，V是AU的共舸调和函数，已知一个求另一个？解析区域Cauchy定理f(z)dz=01(2)Cauchy定理(复)(3)有界Cauchy积分公式/(Z)=(5)无界Cauchy积分公式AZ)=Ag詈0备注：/均为区域的边界，取正方向(1)由CR条件和Green公式推得。对于任意解析区域都适用。另一种方法,由于围道内没有奇点，所以(9)式的右边为0。积分与路径无关：定积分小呜小叱W)伊(2)复连通区域可划成单连通区域,即得(3)/可化为绕Z的无穷小国道,这时yr。趋于常数提到积分外、剩下部分的积分部分正好为2i另一种方法，将#4)在Z附近TayIor展开，f(z)正好是一1次项系数，而积分后其他帮次项为0.(4)将(3)式两边对Z求导即得(5)(3)式在无穷远点留数为0即得(6)对(3)式的1/(4-z)用塞级数展开,结合(4)即得它是(7)的f(z)在其内不含奇点的情形S是圆域内绕逆时针Zo一周的闭合囤道.(7)对(3)式的1/(Z)在自用塞级数展开，得正徭次项部分,在再展开对k做替换得负辕次项部分,最后对它们的系数用(2)归纳便可得到该结论S是圆环域内绕逆时针z°一周的闭合围道.(8)令的k=-1得(9)(8)和(2)结合即得嘉级数收敛圆Abe1第一定理Iimj1C旨卜；I0收敛半径R=I"(6)TayIOr级数IZ-ZO1<R(7)1aUrent级数Ri<z-z0<R2(10)(11)(12)(12)极点resize)(13)res八)=-res(-)Z(sm9,cos5)J9=/(2)=Q(z-)t*=0唯一性/(Z)=(Z-Zo)AJt-W唯一性这是定义将(9)代入(10)即得把4z)的1aurent展开式写出经式中的运算,结果正好是b.用1/z替换(10)中的z,然后求Z=O的留数即可，-).,1f)2疝!仁-7严k1是？(8)留数res(zo)%“(z)dz(10)无穷远点res(oo)resf()=j)f(z)dz,1£fqGd2J(-z0)1(9)留数定理»dz=2m±bI*!(11)平面留数和为0Xresf(Q)+resf()=0是？*(x)d=2哆resf(z)t7=Z1+z2=(x>=2万与res(z>