复合函数抽象函数.docx
复合函数,抽象函数目录1 .复合函数概念12 .理解复合函数的定义：23 .复合函数定义域34 .求函数的定义域主要应考虑以下几点45 .复合函数单调性46 .复合函数的奇偶性与周期性57 .求与复合函数相关的函数解析式68 .复合函数求导方法69 .题目710 .抽象函数定义域711 .抽象函数求解析式812 .本节课回顾：9复合函数：两个或多个基本函数进行k()式的复合，或进行加减等四则运算。复合函数单调性：(同增异减)向，鼠X)增，增增，减减，减g()1增*增fi)+g()增不能确定加0一鼠x)不能确定增不能确定复合函数奇偶性：(一偶则偶，同奇为奇)H工)，g()奇，奇奇，偶偶，偶fg()奇偶偶fxYg(x)orv>()偶奇偶/(x)±f(x)不能确定非奇非偶不能确定1.复合函数概念一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成X的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记做y=f(g(x).简而言之,所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数.我们现在所学的初等函数包括：一次函数，二次函数，反比例函数，事函数，指数函数，对数函数以下均为复合函数，复合函数是由“主体函数”和“次级函数”构成，具体见下面举例：1 .f(x)=23x+5,这个复合函数的主体函数是指数函数，次级函数是一次函数,所以是由f(t)=2t和t=3x+5复合而成的2 .f(x)=1n(x2-2x-3),这个复合的主体函数是对数函数，次级函数是二次函数,所以是由f(t)=1nt和t=x2-2x-3复合而成的3 .f(x)=(1nx)2,这个复合函数的主体函数是嘉函数，次级函数是对数函数，所以是由f(t)=t2和t=1nx复合而成的备注：1 .复合函数通常是由两个基本初等函数复合而成，相当于将其中一个初等函数(次级函数)镶嵌在另外一个初等函数(主体函数)中2 .两个初等函数进行“加、减、乘、除”之后，组成的函数不是复合函数。例如f(x)=x2-Inx,这个函数是事函数跟对数函数相乘，所以这不是复合函数3 .无论遇到何种函数，首先要确定函数的定义域，这是学习函数最基本的原则。4,次级函数的值域t的范围与主体函数的定义域f(t)的范围是一致的2 .理解复合函数的定义：假如披萨是外函数，菠萝是内函数，那么披萨(菠萝)就是菠萝馅料的披萨;假如菠萝是外函数，披萨是内函数，那么菠萝(披萨)就是菠萝上面摆放几块小披萨。3 .复合函数定义域(1)复合函数的定义域，就是复合函数y=f(g(X)中X的取值范围。(2)在外函数y=f(u),内函数u=g(x),复合函数y=f(g(x)中，X称为直接变量，U称为中间变量，U的取值范围即为g(x)的值域。(3) f(g(x)与g(f(x)表示不同意义的复合函数。(4)若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f(g(x)的定义域是D=xxA,且g(x)B综合考虑各部分的X的取值范围，取他们的交集。已知f(X)的定义域为(a,b),求f(g(X)的定义域的方法：已知f(X)的定义域为(a,b),求f(g(X)的定义域。实际上是已知中间变量的U的取值范围，即u(a,b),g(x)(a,b)o通过解不等式a<g(x)<b求得X的范围，即为f(g(x)的定义域。已知f(g(x)的定义域为(a,b),求f(x)的定义域的方法：若已知f(g(X)的定义域为(a,b),求f(X)的定义域。实际上是己知直接变量X的取值范围，即XW(a,b)O先利用avxvb求得g(x)的范围，则g(X)的范围即是f(X)的定义域。4 .求函数的定义域主要应考虑以下几点（1）当为整式或奇次根式时，R为值域；（2）当为偶次根式时，被开方数不小于O（即20）;（3）当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;（4）当为指数式时，对零指数塞或负整数指数塞，底不为0。（5）当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。（6）分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。（7）由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求。（8）对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。（9）对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。（10）三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。5.复合函数单调性减;减+增=减",由y=f（u）,=g（X）的单调性来决定。即“增+增二增;减+减二增;增+减二可以简化为“同增异减”。”同增异减”的含义就是：如果f（U）与g（X）同为增函数或同为减函数，则f（g（X）在其定义域上为增函数；如果如果f（U）与g（X）中一个是增函数另一个是减函数，Mf（g（X）在其定义域上为减函数。（I）求复合函数的定义域；（2）将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幕、指、对函数）；（3）判断每个常见函数的单调性；（4）将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；（5）求出复合函数的单调性。6.复合函数的奇偶性与周期性奇偶性由f（g（x）的定义域，以及y=f（u）,u=g（x）的奇偶性来决定。即”一偶则偶，同奇则奇”。”一偶则偶，同奇则奇”的含义就是：（1）如果f（g（X）的定义域关于原点对称，WJf（g（X）才可能是奇函数或偶函数。否则就是非奇非偶函数。注意这一点是判断奇偶性的前提。（2）如果f（u）与g（X）中至少有一个是偶函数，则f（g（X）为偶函数；如果如果f（U）与g（X）都是奇函数，则f（g（X）是奇函数。复合函数的周期性口诀:设y=f(u)的最小正周期为T1,u=g(x)的最小正周期为T2,则f(g(x)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)O7 .求与复合函数相关的函数解析式已知f(X)求复合函数f(g(X)的解析式，直接把f(X)中的X换成g(X)即可。已知f(g(X)求f(X)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法：就是在f(g(X)中把关于变量X的表达式先凑成g(X)整体的表达式，再直接把g(X)换成X而得f(X)。换元法：就是先设g(x)=t,从中解出X(即用t表示X),再把X(关于t的式子)直接代入f(g(X)中消去X得到f(t),最后把f(t)中的t直接换成X即得f(X)。8 .复合函数求导方法复合函数求导公式：若y=f(g(x),则y'=f(g(x)'=f,(g(x)g'(x)O例如：y=(2x+3)八2可以看做是y=u八2与u=2x+3的复合函数，根据复合函数求导公式得：y,=f(g(x),=f,(g(x)g,(x)=(u2),(2x+3),=2u2=4u=8x+12o9 .题目【例U求函数y=1og严*2)的单调减区间。【例2】己知函数/(x)=1og0+3)当«r)定义域为R时，求的取值范围;当7U)值域为R时，求a的取值范围。抽象函数：一般会给出定义域和值域，但不给解析式复习：已知函数/U)定义域为凡且满足/(x+7)=(x)+/(),其中，T(X)不恒为0,试判断仆)的奇偶性。10 .抽象函数定义域(1：!/U)定义域为-2.3,求y(2x-1)的定义域；(2双2%1)定义域为23,求/U)的定义域；f(2x1)定义域为-2.3,求芯"+4)的定义域。抽象函数定义域解法:1 .定义域是X的取值范围2 .用括号过渡后，同一个括号内范围相同11.抽象函数求解析式二、抽象函数求解析式W+%)=(x+y)T正比例函数y=axT(X):Ay)=WX+y)指数函数：J=I儿0+/W)=(>)对数函数：y=og;选择填空题中可以用，本质就是基本函数的运算法则更为复杂的情况【例】函数/U)定义域为R,(1)(x)+f(-x)=x2+3x-2(2)(x)+=-Xx+1分别求出15)的值【例3】设危)是连续的偶函数，且当QO时，危)是单调函数，则满足/(幻=外上2)的x+4所有X之和为O【例4】若定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的用,工2eR有/(+毛)=/(a1)+(xj)+1,则下列说法一定正确的是()A.«r)为奇函数B.段)为偶函数C.J(x)+为奇函数D.J(x)+为偶函数12.本节课回顾:1 .复合函数单调性：同增异减2 .简单抽象函数可赋值，小题中可用特殊值3,复杂抽象函数可以求解析式（赋值是基础）
