321 基本不等式的证明.docx

QJb3.2基本不等式V0b-7(,b0)3. 2.1基本不等式的证明课标要求素养要求1 .掌握基本不等式7wW2（N0,b0）.2 .能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.课前预习知识探究自主梳理基本不等式如果。，是正数，那么也运?（当且仅当=b时等号成立）.我们把不等式两忘守（小820）称为基本不等式.（2）当,8R时，的W色与旦（当且仅当=/?时等号成立），色宇）（当且仅当a=b时等号成立）.f2-1-Ifi+力不等式2"和亍2%中“=”成立的条件相同吗？都是当且仅当a=b时等号成立.但适用于0,Z?20,>6fZ?,适用于mbWR.自主检验1 .思考辨析，判断正误（1）当x0时，x+；22.（X）提示只有当x>0时，x+22才成立.(2)审，的对任意实数,8都成立.(X)提示只有当且620时，空才能成立.crb(3)当小bR时，HWy成立.(J)(4)+f2.(×)提示只有当红0,即时>0时，(+2T=2才成立.2 .设0<水从且。+=1,在下列四个数中最大的是()A.BbC.2abD.a+b1答案BZ、2解析法一»,ab<,.,.2ah<.Ia1+b2a+ba2+b21991,.-2>2>0,>-2五，/÷b->y9：b-(a1+b2)=(b-b2)-a1=b(-b)-a1=aba2=a(bd)>0,.b>a1+b2i:b最大.3-83-4,1-4-，02+2=,故选B.O3 .下列不等式中正确的是()4A.+-4B.cr+b24abaC.yabaD.x2+A23答案D4解析若<0,则十言4不成立，故A错误；若=1,b=1,则a2+b2<4abi故B错误；若=4,8=16,则7<W",故C错误；由基本不等式可知D正确.4.若>0,b>0,a+b=2,则下歹U不等式bW1;®ya-yby2i(3)2÷Z722;+2,对满足条件的小b恒成立的是（填序号）.答案解析因为时（83=1,所以正确；因为（如+亚）2=+b+2，=2+2yah2+a+h=4i故不正确；2+济?（""）一=2,所以正确；（+'=甯=*2,所以正确.课堂互动题型剖析题型一利用基本不等式比较大小【例1】设0<。<力，则下列不等式中正确的是（）1 a-bIa-bA.a<b<yjab<-2'B.a<ab<<bC.a<ab<b<r-D.yab<a<<b答案B解析法一.（）<4<仇/.a<yab<a<b,故选B.法二取=2,6=8,则4,=5,所以思维升华在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向.【训练1】（I）已知小匕是不相等的正数，X=也祥，y=后工，则X，y的大小关系是（）A.x>yB.y>xC.x>2yD.y>y2x比较大小：正有一_2（填“2”或“W”）答案（I）B（2）2解析(I)Vtz,b是不相等的正数，9y2=(ya+b)2=a+b=z+6+ba+b+2>(也+也)112>2=2"Vx>0,>,>0,.y>x.(2#"=迎+1+,1+产2,当且仅当x2+1=不与即X=O时,等号成立.题型二利用基本不等式证明不等式2122"一/厂【例2】已知a,b,c>0,求证：-+-a+b+a262g证明V,b,c>0,利用基本不等式可得不+b22,÷c2Z?,÷2c,252Zj2W7"÷+b+c22+2b+2c,故石+N。+力+c(当且仅当a=b=c时，等号成立).思维升华利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系.当已知条件中隐含有“1”时，要注意力”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.【训练2】已知>0,b>0,a-b=1,求证：8:21茄+-1-b+-30+u×)z21-b+必41-Jp+-1-。-1茄十1-b+-IJ->?9,a+b=1,6>0,b>09J+:="+号=2+小组2+2ababbaH+/亲河当且仅当4=时等号成立)(2)法一.q>0,b>0fah=1,I+%】+安=2+告同理，i+E，U如护b+的I=5+2+5+4S=9(1+§(1+")9(当且仅当=/?=；时等号成立)由知,G+/茄28,故(1+力(1+/=1+5+/+白，9(当且仅当"="=出等号成立).题型三用基本不等式求最值角度1求简单代数式的最值9【例3】(1)已知x>0,求x+.的最小值；(2)已知加，>0,且机+=16,求品的最大值.9gO解TqO,由基本不等式可得x+：221/*;=6,当且仅当X=;,即=3人1人时，等号成立，所求的最小值为6.(2)Vzn,n>Ot且机+=16,，由基本不等式可得w("n)=(竽)=64»当且仅当"?=8时，Zn取到最大值64.*jtnn的最大值为32.角度2利用配凑法求最值【例4】(1)已知冗求y=4x2+耳£的最大值；(2)已知O<x<g,求y=(1-2x)的最大值.解(1)Vx<,5-4>0,R=412+止=-(5-4升占+3-2/(5-4x)½-+3=1,当且仅当54x=-,即x=1时，上式等号成立，54X故当X=I时ymax=1(2)V0<x<,1-2x>0,2/.y×2x(1-2x)×(2+2=星=七当且仅当2x=1乂04<1),即x=(时，上式等号成立，故当X=W时，max=j.思维升华在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.12【训练3当x>0时，求；+4X的最小值；(2)当<0时，求?+4x的最大值；(3)已知4x+f(x>0,G>0)在X=3时取得最小值，求。的值.12解(1)V>O,A>0,4x>0.12/12-+4x2/4x=83.XMX当且仅当5=4x,即X=小时取最小值8#,当x>0时，y+4x的最小值为83.(2)V<O,.,.x>0.则4+(4x)=83,当且仅当三=4X时，即x=一小时取等号.1n-+4x一83.v12当x<0时，工+4X的最大值为一8噂.(3)4x+2-4v=4,当且仅当4x=*即=4x2=36时取等号,。=36.课堂小结1 .牢记2个不等式()cr-b12ab(arR);(2)yab(a,匕20).2 .掌握两个注意点(1)两个不等式2+序2出>与等2迎，都是带有等号的不等式，对于“当且仅当B寸，取'='”这句话的含义要有正确的理解.中，=伙,8R)=/-b2=2ab1中，a=b(c,b?G)=(2)在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.-，技层U11练F素养提升I基础达标I一、选择题1 .不等式/+24中等号成立的条件是()A.=4B.a="2C.a=-y2D.a=±2答案D41解析此不等式等号成立的条件为。2=$,即=±5,故选D.已知y=x+；2(x<0),则y有()答案C解析Vx<O,y=_(-x)+-2-2y(-)T-2=-4,当且仅当一彳=一时，即X=-I时“=”成立.X故y有最大值为一4.3 .已知QO,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36答案B解析因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+y=9+jtyW9+(gj=9+42=25,当且仅当x=y=4时“=”成立，故(1+x)(1+y)的最大值为25.4 .设"=2,q=空,r=f咛丸>a>0),则下列关系式正确的是()A.tj>q>pB.q>p>rC.q>f>pD.r=q>p答案A解析*.*b>a>Ot.*.a2+h2>2ab9.7I,71f9.cr+b1(+Z?)22(a2+b2)>(a+b)29一>,.cr-b2a±bV2a-br-又->ab11a2+b2ab-2->>yab,即r>q>p.5 .(多选题)下列求最值正确的是()4A. y=x+1的最小值为4IB. >=再彳3>0）的最大值为2C. y=x1+*(K1)的最小值为0D.y=yx2+41x2+4的最小值为2答案BC解析A中，没有考虑x<0的情况，错误；B中，尸#7=不W=,当且仅当“=%即尸1时取等号，正确;x+x2VxXC中，y=-1÷-7=x÷1÷-TT-2JXH-IR十1KG+D+-2=°'当且仅当x+1=Wp即X=O时，取等号，正确；D中，当y9+4=.二+：时,X无解,故取不到2,错误.二、填空题6 .已知x>0,y>0,2r÷3y=6,则Xy的最大值为.3-2案答7 解析因为x>0,y>O,2x+3y=6,所以盯=23y悬件片)8 .设小8为非零实数，给出下列不等式：2心出冲（空；皇与黑；f+评淇中恒成立的是（填序号）.答案解析由不等式a?+/?"，可知正确;+庐_2(片+阴_(+/)+(标+1)>标+2帅_(+b)2_2=4=4-4=4=2(W2)，可知正确；当0=8=1时，""=-1,-=-可知不正确；2ab2当=1,8=1时，可知不正确._,rI(x+10)(A1+2)曰、，9 .已知x>1,则的最小值为.答案164y1(x+10)(x+2)(x+1+9)(x+1+1)解析=(x+1)2+o(X+1)+9x+1