20132014学年第一学期《概率论与数理统计》模拟试题答案.docx
概率论与数理统计练习及答案一、单项选择题1 .设事件A与事件B互不相容，则(D )(A) P(A B) = O(B) P(AB) = P(A)P(B)(C) P(A) = 1 -P(B)(D) P(AuB) = I2 .设随机变量X的概率密度为/(X)Jg3，则常数，=(D )0, 其他，A. -B.-43C. 3D. 43.设X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1(x)> 2(x),分布函数分别为K(J0、F2(X)f 则(C )(A)力。)+%(乃必为某一随机变量的概率密度(B)力。)人")必为某一随机变量的概率密度(C) Ma)F2*)必为某一随机变量的分布函数(D)片(幻+尸2(幻必为某一随机变量的分布函数4 .设随机变量X、Y相互独立，且都服从区间(0, 1)上的均匀分布，则 px2 +Y2 1= ( D )1 - 2B)5 .设随机变量X服从参数为3的指数分布，其分布函数记为尸(X),则PW) =(C )。1 eA.-B.-3e3C. !-e-1D.36、设A、B为两个事件，则AUB= ( D )A. A BB. A BC. ABD. AB8、随机变量X服从二项分布8(10,0.2),则(C )A. EX = DX=2B. EX = DX = 1.6C. EX =2,DX = 1.6D. EX =1.6,DX =2二、填空题1 . P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(ADB) = 0.4,则 P(AB) = _0.32 .设随机变量X服从N(d),且二次方程÷4y+X=0无实根的概率为;，则XZ= 4 一3 .设随机变量XU(T,1),则尸xg=g°1,X >0,4 .设随机变量X在区间-1, 2上服从均匀分布。随机变量Y = ,X=O,则-,x <0,5 .设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P(X = E12)=ge"6 .设离散型随机变量X的分布函数为O,X < -1,F(x) =« , -1 X < 2,1,x2,则 PX=2 = 7、设随机变量X 8(100,0.8),由中心极限定量可知，P74<X860.8664o(l .5) = 0.9332)8.设 XN(0, 1)，K=2X-3,则。(/)=4。三、计算题(一)1.一批同一规格的产品由甲厂和乙厂生产，甲厂和乙厂生产的产品分别占70% 和30%,甲乙两厂的合格率分别为95%和90%,现从中任取一只，则(1) 它是次品的概率为多少？(2)若为次品，它是甲厂生产的概率为多少？ 答：解：设A='次品'，B='产品是甲厂生产'依题意有：P(B) = 70%, P(B) = 30%, P(AlB) = 5%, P(AI 月) = 10%,(1)P(4) = P(B)P(A B) + P(B)P(A B) = 70%×5% + 30× 10% = 0.065(2) P(BA) =P(AlB)XP(8)P(A I B) X P(B) + P(Al 月)x P(F) 0.53850.05 × 0.70.05×0.7 + 0.1×0.32 .设随机变量XN(Oj),求随机变量K = 2X-1的概率密度函数。1 士答：解：X 的密度为：fx() = =e 2 , -<x< ()=p(y)=p(2X-iy) = py+,1 (尸厂由 y(y)=4 (y)得:AW=2J2 © 8 , -8Vy<8Ax O < X < 13 .设随机变量X的概率密度函数为 f(x) = ', ,0, 其他(1)求常数A； (2)求概率p-g<X<g>: (3)求X的分布函数尸(X)O解：(1)f f (x)公=1 即 f ArtZr = 1 => A = 2J-XJO2(1) 11 21(2) P4< X < 卜=*2xdr = -I 32 J4v0,XVO(3) F(x)= (r)Jr = x2f 0x 1°01,x>l4.设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为(1)求；Cov(X -Y,Y)i (2)求 PXy .解：(i)x、 Xy的分布分别为X012P111236Y012P111333XY0124P712j_30112CoMX-/,D = COV(X, Y) - Cov(Yy Y)22Cov(X9Y) = EXY-EXEY,其中，EX = , EY=, EXY = -f 所以 33Cov(X9Y) = OCov(Y,Y) = DY = EY2 -(EY)2 ,其中，EY= , EY2 =-,所以 3cv(r,n = 2由此得，CO火X-Y9Y) = CoNX,Y)-Cov(YyY)= 一一 3COV (X 丫) px =r » 因为Coy(X,y)=o,所以PXy=OJdxdy四、计算题(二)1 .某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂 的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2)若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？解：A为事件“生产的产品是次品”，Bl为事件“产品是甲厂生产的"，Bz为 事件”产品是乙厂生产的“，Bs为事件”产品是丙厂生产的”易见片,当,反是C的一个划分 由 全 概 率 公 式， 得3325% × 5% + 35% × 4% + 40% × 2% = 0.0345.P(A) = ZP(A耳)=Z P(瓦)P( A忸j)=/=I(2)由Bayes公式有：P(B1A) = EP(AIBJP(Bj /=I25% X 5%0.03452569A 尤 0 < X V 2 .设随机变量X的概率密度函数为 /(x) = 4' ,0, 其他(1)求常数A； (2)求概率p-g<X<g>: (3)求X的分布函数尸(X)O答案见上面第二题3 .设随机变量X具有概率密度函数fx(%)=，'x8,0,OVXV 4;其他，求：随机变量Y 二d的概率密度函数。解：Y = F的分布函数K(y).F(y) = P(Y y) = P(ex y) = P(X ln) = fx(x)dx0,yv;=In2 y, 0 y <e4;In y 瓦T0,OVyVe二其他.1,e4y.于是Y的概率密度函数£ (J) = -(y) = < dy4 .设离散型随机变量的分布列为Xr O 12p0J02030.4求(1) X 的分布函数尸(X)； (2) P(-O.5<X1.8) (3) DXo解：0x<-0.1 -lx<0(1) F(X)= <0.3 0x<l 。由分布函数的定义厂(X) = P(rovXx)0.6 1 x< 212x可得(2) P(-O.5<X1.8) = F(1.8)-F(-0.5) = 0.6-0.1 = 0.5(3)因 E(X) = 1, E(X2)=2, DX = E(X2)-E(X)2 = 5.某地区年降雨量X (单位：mm)服从正态分布N(IOOO,IO。?)，设各年降 雨量相互独立，求从今年起连续10年内有9年降雨量不超过1250mm,而有 一年降雨量超过125Omm的概率。(取小数四位，(2.5) = 0.9938 ,(i .96) = 0.9750 (1.96)=0.9750)解：设A表示“ X>1250”，y表示10年中,A发生的次数,则y B(10,p)p = P(A) = P(X > 1250) = 1-P(X 1250)1 不/250 1000、,u、 CCCm=1-() = 1-(2.5) = 0.0062所以 P( y = 1) = C： W(I-= C；OX 0.0062 × 0.99389 = 0.0582四、计算题设总体X的概率密度函数为/0)=<+)x0,0<x 其他X,X2,，Xn是抽自总体X的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计夕。解：E(X)= j4(x)公=j(，+1)/公=怒f+2 ：=翟 -O样本的一阶原点矩为J + X?+x“n 6 + 1A 2X -替换，x = 得矩估计。夕+ 2I-X八的 飞*/ 小 T(+1) x/, O < X1- 1似然函数为 L(X,X",6) = d4 ,0, 其他InL = ln(。+ l) + eflnj/=Idn L n S 八=÷ > In xi = Od 6 + 1 '解似然方程得的极大似然估计¢ = -丁上 1ln Xi Z=I
