专题13累加法累乘法和八种构造法求数列通项(解析版).docx

专题13累加法累乘法和八种构造法求数列通项一、重点题型目录【题型】一、累加法求数列通项公式【题型】二、累乘法求数列通项公式【题型】三、利用an与Sn关系求数列通项公式【题型】四、构造法求数列通项公式【题型】五、观察法求数列通项公式【题型】六、定义法求数列通项公式二、题型讲解总结【题型】一、累加法求数列通项公式例1.(2023河北沧州高三阶段练习)设数列q满足/川-%=2”+2,q=5,则数列,F而向F1的前19项和为()A1B1C1D14219+36132,9+361'441o+4OO'34,o+4OO【答案】D【分析】根据数列的递推式采用累加法求得。=2"+2+1,可得卜/,Q产：i、的通项公式，采用(n+2n)n-+2n+an)裂项求和法，即可求得答案.【详解】因为。1-。“=2"+2,所以/一4=2+2,%-/=22+2,ian-an,1=2n1+2t所以凡=2+22+÷2w-1÷2(n-1)=2(1"2,)+2(n-i)=2n-2+2(h-1),12又4=5,所以勺=2”+2+1,a1,=2"+2+1则(+2z,)2+2+)=(+2)(+1)2+2+,_5+1)2+2"+-(+2")_J一(+2rt)(n+1)2+2,+,+2n(+1)2+2n+,'故数列数列1,m22Vr的前19项和为：(1+2)(-+2"+4)J11I11111-4-,"f-4-_322+2222+2232+2192+219202+22°341°+400故选：D例2.(2023.浙江.高三阶段练习)北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2,3,5,8,12,17,23.则该数列的第41项为()A.782B.822C.780D.820【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.【详解】设该数列为4,由题可知,数列6+-凡是以=1为首项,1为公差的等差数列，所以4+1-q=1+(T)X1=凡所以(4)+(64)+(4行一%)=4m4=1+2+、所以%-%=粤2所以。1=笑辿+2,所以%="尹+2=822,故选:B.例3.(2023全国高三专题练习)已知S“是等差数列%的前"项和,其中另=6,S,=IO,数列出满足4=1,且2+q=加，则数列也的通项公式为()w2+2R"2-7+2rn2nn2+n+22222【答案】B【分析】根据题意列方程组求出4,4,从而可求出,然后利用累加法可求出数列的通项公式【详解】设等差数列q的公差为一,因为S3=6,S4=10,o3x2JJ4=1J=I3(i1+d=6所以，解得4.X34q+d=10所以4=4+(-1)1=1+-1二，因为=2”，所以%-2=4=，所以用一4=1,by-b2=2tb4-b3=3,-.1=n-,所以瓦一仇=1+2+3+5-1)=,因为4=1,所以广与2+=上产，故选：B例4.（2023.全国高三专题练习）2023年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花它可以这样画，任意画一个正三角形4,并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线6；重复上述两步，画出更小的三角形.一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，R，Pa，匕，.设雪花曲线巴的边长为对,边数为。，周长为4,面积为S”，若4=3,则下列说法正确的是（）a%=Ms=9x（T）bSS3<SC,他,J,S力均构成等比数列D.S=1+X1【答案】Ba；，应用累加法求3通项，进【分析】根据已知写出、2、/”的通项公式1“2时S“-而判断各选项的正误.【详解】据题意知:f1=1._1/_256am1%=H''=丁，Adh天;S1=×Jisin60o=，1214Sn=S1+(S2-S1)+(S3-S2)+(5-S,1)=-+-1+(1)+183273<4Y1-52(9j，EbS尸哈粤1萼口也满足上式,则S1竿一萼.(犷所以s,不构成等比数列，C错误；由上，邑=U乎,s=竽，则sS3<gs,B正确.故选：B.【题型】二、累乘法求数列通项公式,、1E11V1例5.(2023全国高三专题练习)在数列a,1中，4=，=,心中，若萼=就+京+1+的小，44I十NJK4,I十1I*且对任意N*,%2"+4恒成立，则实数4的取值范围是()A. (o,-1B.卜。O1gC.(总1D.1,4<o)【答案】A【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列q的通项公式，利用错位相减法求解北，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.nn-n-2n-321【详解】解由凡+i=-;.Man=-××-×1×X×a.1H÷i2("+2)付"2(w+1)2n2(w-1)2×42×311211/2rt,n(n+1)4n(n+1)×2nv711_1所以5+1"=2"("N2),当”=1时，2«,21-，符合上式,所以(=1x2+2x22+n-2nf27；,=1×22+2×23÷+i2+,作差得W=2+2?+1+2”-.=2(；一；)_.27=(1一小一2，所以7；二(-1)2向+2.由q;12”+4,得(八-1)2"+242"+4,整理得22(一1)一Tq.易知函数y=2(x-1)-击在1,+)上单调递增，所以当x1,+e)时，ymin=-1t所以;1T故选：A.例6.(2023全国高三专题练习)已知4=1,an=nan+1-at1)(nN+),则数列4的通项公式是=()D.n【答案】D【分析】根据题意可得也=必，再利用累乘法计算可得;ann【详解】由4,="(/+|-4,)，得(+1)4=SM，,annan.n-an1n-20,2、一则工=-T，=3，=r,.»一丁"2,%-1an-2"2an_3n-3a1由累乘法可得M=",所以为=，2,a又6=1,符合上式，所以故选：D.例7.(2023全国高三专题练习)已知数列%中，4=1,叫用=2(q+4+4)("N*),则数列%的通项公式为()A.an=nan=2-1【答案】A【分析】根据wzjx=2(4+4+q,)("N*),利用数列的通项和前项和的关系，得到%1=四,再%利用累乘法求解.【详解】解：由“+1=2(+4+qt)得(一1)4=2(+/+(T),-得：做z、at.1n+1即：用=(+1)4，=4a2%1277-1所以4=(eN')例8.(2023全国高三专题练习)己知数列m满足=2,an=a-.an-(n>2),则当时，等于A.2nw(w+1)D2C.2n,D.2n【答案】【分析】由递推关系可得&=2(论3),aw-1应用累乘法求(的通项公式，注意验证=2的情况.【详解】由a"=。/+。？+m/(2),得4=+42+2(w>3),两式相减得，an=2anb即/i-=2(1>3),.w3时，ar,-a22-=2,2,2»又G="=2,a2an-an=2nn>3)t又。2=2也适合,an=2nz(w>2).故选：C.例9.(2023全国高三专题练习)已知数列%满足4=g,牝=誓IaE52,eN),则数列凡的通项凡=()a1c,(2-1)(2+3)B焉1【答案】A【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式.【详解】解：数列q满足=；，4=s=黑"""S""'所有的项相乘得:4二1x34(2n+1)(2-1)14-1【题型】三、利用an与Sn关系求数列通项公式例10.(2023山东潍坊高三期中)己知数列,的前项和为S,满足为+S“=3-(gj'(.则下歹IJ结论正确的是()A. a2<B. 4+4%=2%C,数列2Z,J是等比数列D.1Sn<3D(w+1)(n+3)【答案】D【分析】根据，的关系以及已知条件，可以得出2"%.即2"J是一个等差数列.然后求出通项公式，逐个检验选项即可.两式作差得，1÷5w+1-÷S)=3-3+即%”+4=(g),两边同时乘以2"可得,2"%z-2"m=1,即2%J是个等差数列.又，=1时，有q+S=2,又q=S,所以4=1.所以，数列2"qj首项为2%=2,公差为1的等差数列,则2nan=2+（-1）=+1,所以,+1则=2?=W'a325=-2,显然A不正确;7a(=,6641O77'i=»B不正确:Io230山前面已得，数列2"z是等差数列，C项不正确;Sf1=3-(g)一可=3-击-号!=3-8单调递增，则Sf,S=1又4=*>°所以，S.=3-（J）-4<3所以，1,S3.故选：D.例11.（2023.全国高三专题练习）若数列«中不超过“的项数恰为耙（"zN）则称数列也”是数列与的生成数列,称相应的函数/（?）是数列q生成优的控制函数.已知q=2，且Z）=如数列也,的前?项和黑，若S,”=30,则?的值为（）A.9B.11C.12D.14【答案】B与（?为奇数）【分析】对加分奇偶讨论可得力二,当，为偶数时，根据等差数列的通项公式即可求解：£（加为偶数）当“为奇数时，根据SW1=SM求解.【详解】由题意可知，当S为偶数时，可得2nm,则0=£；H11当m为奇数时，可得2胫6一1,则如=宁，卷土（?为奇数）所以,=三（加为偶数）2则当为偶数时，Sm=hi+h2+,=-(1+2+w)-×y=-.则叵=30,因为TWWN'，所以无解；4当m为奇数时，Sn=b1+b2+bn=5,rt+1-,+1=(?：)_勺1=!111,42