求轨迹方程的八种题型.docx

求轨迹方程的八种题型【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点4-后0),B(3,0),M为动点、,已知直线AM与直线的斜率之积为定值：，的轨迹是()-=1(y0)Z-=1(j0)Ay-y2=1(j0)1-y2=1(v0)【答案】C【分析】设动点”(,y),根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.【详解】解：设动点M(XM,则XH±J,则如A=(+%'%=J耳，(x±3),1Vy1直线AM与直线的斜率之积为定值巳.一一二1,化简可得，3x+3x-33y-J2=(y)故点M的轨迹方程为->2=1(),工0)故选：c.【经验总结】可以直接列出等量关系式解题步骤：1 .根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。)2 .根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。3 .注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件【变式演练】1 .若两定点A,8的距离为3,动点M满足IMAI=2MBI,则M点的轨迹围成区域的面积为()A.B.2C.3D.4乃【答案】D【分析】以点4为坐标原点，射线AB为轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可计算得解.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为.1轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点M(X,)，)，则冏了=24-3)2+9,化简并整理得：。-4)2+)，2=4,于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为41，所以M点的轨迹围成区域的面积为4人故选：D2 .已知点尸(0J),直线1y=-I,。为平面上的动点，过点作直线/的垂线，垂足为。，且QPQF=FPPQ,则动点P的轨迹。的方程为()A.X2=4jB.y2-3xC.x2=2yD.y2=4x【答案】A【分析】设点P(XJ),得到Q(x,T),QPQF=FPPQ9列出方程,即可求解.【详解】设点PCay),则Q(KT),因为/QD且QP。尸=尸pp。，所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=2-2(y-1),整理得=4)，所以动点尸的轨迹。的方程为/=4)，.故选：A3.已知M(4,0),M10),若动点P满足加桥=6|而|.(1)求动点P的轨迹C的方程；解(1)设动点P(x,y),则济=(X-4,y),疝=(一3,0),丽=(1-,-y)t由已知得一3(x4)=6N(I-X)2+(y)?,化简得版2+4y2=12,即，+看=1.，点P的轨迹方程是椭圆C:j+f=1【题型二】相关点代入法【典例分析】已知AABC的顶点8(-30>C(1O),顶点A在抛物线y=/上运动，求C的重心G的轨迹方程.x0=3x+2,%=3y.=3+1+【解析】解:设G(x,y),A(为先),由重心公式,得,3y=13又.A(x°,%)在抛物线y=/上，.Ro=,.将，代入，得3y=(3%+2)2(ywO),即所求曲线方程是,y=3+4x+g(yH).【经验总结】一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。】、求谁设谁，设所求点坐标为(x,y)2、所依赖的点称之为“参数点”，设为(Xj,y)(i=1,2.)或(a,b),(x(),yo)等3、“参数点”满足某个(些)方程，可供代入4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。5、代入方程，消去参数值【变式演练】1 .已知抛物线。：/=4X的焦点为尸.(1)点A、P满足AP=-2E4.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程；【答案】设动点P的坐标为(Hy),点A的坐标为(Xa，y)，则AP=(X-¥一%)，因为F的坐标为(1,0),所以EA=(XA-1,”)，由AP=-2必得(XTvy-%)=一2区-1，).即一八二一?47)解得a=2t代入J=4%,得到动点P的轨迹方程为Iyf=-2力yA=-yy2=8-4x.2 .已知圆C1:x2+y2=r2(r>0)与直线:y=+6相切，点A为圆G上一动点，AN1r轴于点N,且动点M满足OM+2AM=(20-2)ON,设动点M的轨迹为曲线C.(1)求动点何的轨迹曲线C的方程；【答案】(1)+=.试题解析：(I)设动点M(x,y),4(%o,yo),由于4N_1%轴于点N.；,N(%o,0).又圆G：/+y2=r2(r>0)与直线%:y=:无+5即-2y+35=0相切，r=3.圆C1.%2+y2=9.由题意，OM+2AM=(22-2)ON,得。,y)+2(x-XO,y-y0)=(22)Qo,0),二(3x-2xq,3y-2y0)=(22-2)x0,0).,f3x-2x0=(22-2)x0,g.J。=2,73y-2yo=0B1yyO=小将“盛，当代入/+y2=9,得曲线C的方程为1+=1.3.设厂(1,0),M点在X轴上，P点在y轴上，且曲=2称，可T1/，当点P在)，轴上运动时，求点N的轨迹方程.【解析】解设M(xoO),P(0,yo),Na,y),：斯上注,丽=(超,一非)，P>=(1,-yo),(xo,yo)(1,-M)=0,.o+y3=O由MQ=2砂得(xXo,y)=2(一刈，yo),X-xo=_2xoAov2C,即1.，-x+(=0,即丁=4工故所求的点N的轨迹方程是F1)'=2yo泗=»4=4x.【题型三】定义法【典例分析】已知动圆”过定点P(-4,0),且与圆CY+y2-8=o相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.【解析】依题意，IMC1TMpI=4,说明点M到定点。、P的距离的差为定值，动点"的轨迹是双曲线的一支，*.*2a=41'=2.*.*c=4,.,.b2=c2a2=2.,.动圆圆心M的轨迹方程是-=1(x-2).412【经验总结】若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求.1 .椭圆，双曲线，抛物线的定义2 .一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆3 .两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关【变式演练】已知两个定圆O1:（x+2）2+y2=：和。2“2尸+），2=4,它们的半径分别是1和2,动圆M与圆Oi内切，又与圆。2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，【解析】解由Io1o2|=4,得01（2,0）、02（2,0）.设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆01内切，有IMoI1=一1;由动圆M与圆02外切，有IMo2|=r+2.|MO2|一|MOI|=3.；SM的轨迹是以O1、02为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，a=米c=2,.*.b2=c2a2=7474v23点M的轨迹方程为弩一与=1（x芬（12、已知点口上,0,直线/:X=-二，点B是直线/上动点，若过B垂直于y轴的直线与U）4线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是（）Ax双曲线B、抛物线Cv椭圆Dv圆【答案】B【解析】由题意知IMH=IMB1,点M的轨迹为抛物线。3.已知点Pay）满足条件?+J（IZ=4（I）求点P的轨迹C的方程；22X",y1T=1【答案】（1）43；试题解析：（I）P"'"满足条件&+D+F+J（X-I+V=4>2,所以点P的轨迹是以（一1°）,（1'°）为焦点，长轴长为4的椭圆，22工+匕=1.c=1,2a=4=>b=>a2-c2=y3i因此所求点P的轨迹C的方程为43.【题型四】交轨法【典例分析】>2厂y.如图，椭圆Co：7+=1(>b>0,Ci1人为常数)，动圆G：/+丫2=片，b<t<a0点A，4分别为CO的左，右顶点，G与CO相交于4,BiC1。四点。(I)求直线朋与直线交点M的轨迹方程；【2012高考真题辽宁理20】【解析】设A(XI,y),8(,),又知A(4,0)4(,0),则直线AA的方程为y=一(x+4)x1+a直线A1的方程为y=J(-)-X1-a2由©得=-½-(x2-6Z2)xx-a"v,由点Aa,力)在椭圆Co上，故可得宠去二,从而有城二叩.张，代入得5%=G<-jvO)【经验总结】交轨法，即轨迹交点法。1 .所求点满足条件方程12 .所求点满足条件方程23 .动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去参数得到轨迹的普通方程4 .参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.【变式演练】1已知MV是椭圆Jb2中垂直于长轴的动弦，4、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。【解析】解1:(利用点的坐标作参数)令M(X,),则N(X,-弘)而A(-,0),5(。,0).设AM与NB的交点为P(x,y)因为AM,P共线，所以因为N,8,P共线，所以上=x+aX+ax-ax-a2O22222两式相乘得得F=-一F，而+jV=1即.vj="5；±!_)代入X2-azxz-aza2,bza1J庐X1V2得=勺，即交点P的轨迹方程为-=1x2-aza1azb22.由圆外一定点。(a,b)向圆/+V二,做割线，交圆周于A、B两点，求弦AB中点的轨迹【解析】解答：设动弦AB的中点为PHy),P点的轨迹是经过定点&a,b)的割线,设其斜率为k(参数)，其方程为Y-b=k(x-a)(1)r、1再有意义可知，p('y)点是在过o点到线AB的弦心距所在的直线上，其斜率为一1士K,方程为Y=kx(2)P点是两直线系(1)、(2)相应直线之交点，两式相乘，消去参数，得221八-+y-ax-by=0(本题另解法，也可以连接OQ,直接以OQ为直径的圆的方程即可)【题型五】参数法【典例分析】/人1X=1如图3所示，过双曲线C：3的左焦点F作直线1与双曲线交于P、Q,以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ,求点M的轨迹方程。(Z)【解析】设所求点M的坐标为(x,y),则平行四边形中心N的坐标为'5'5o而双曲线左焦点F为(-2,0),当直线1不垂直X轴时,斜率存在,设hy=k(x+2)o与双曲线方程联立消去y,得。T1/-4匕炉-3=。又设p、Q的坐标+-4k分别为为)，由韦达定理知*F=百？。X2k2上二4(4+2),N为PQ的中点，122即(x÷¾3/.14/K，12:焚不消去参数k得12一,这就是点M的轨迹。当直线1垂直于X轴时，此时M为(-4,0)仍满足上述方程。(x+2p/_故点M的轨迹方程为412。【经验总结】解题步骤：1引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标看)；2.消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求轨迹方程。【变式演练】1 .已知抛物线y2=4px(p>0),O为顶点，A、B