椭圆中求定点的5类题型.docx

椭圆中求定点的5类题型已知定点位置求定点1.己知RtZXABC的两个顶点A(-2,0),5(2,0),直角顶点C的轨迹记为曲线T,过点P(1O)的直线/与曲线T相交于M,N两点.求曲线T的方程；在X轴上求定点Q(d0),使得NPQM=N尸QN；(3)记AMNQ的面积为S,求S的取值范围.【分析】(1)利用垂直得到怎二T,可求得曲线T的方程，注意y，o；(2)联立方程，由韦达定理得乂+%与My2的值，再由题意可知如o+&N0=O,从而整理化简得到2皿。-4)=0,由此求得。(4,0)；12(3)先求得S3利用换元法整理得SMNQ=1T,构造函数/)=z+1利用导数求得了(f)的值域，由此求得S=SwVQ的取值范围.【详解】(1)设C点的坐标为(X,y),由题意知怎C，原C存在，且ywo,因为AC1BC,所以砥C即C=T7、丁三7=-1,整理可得V+y2=4,(x+2)(x-2)故曲线7的方程为炉+丁2=4()工0).(2)不妨设直线/的方程为X=My+1,点M、N的坐标分别为(不凶)、(和为)，x=my+1、人,整理得(62+1)/+2殁一3=0,+y=4由韦达定理得乂+%=-，VM=-1÷1+nr要使/尸加=NPQV,W+=,则J上xi-ax2-a=0,即x2y1-ay1+x1y2-ay1=0,Wy1一缈|十%一。%(x1-a)(x2-a)又因为%=wy+1,x2=my2+t所以(少2+1)y-y+(m÷1)y2-ay2=0,即2myiy2+(-a)(y1+y2)=0,代入两式，化简得2?3-4)=0,由?的任意性可知=4,即Q(4,0)满足要求.(3)由于点P、Q的坐标分别为(1O)、(4,0),所以IPQI=3,113故SMNQ=SMQP+s=TPQIXI+51尸。|I>21=万Iy1y21,因为%+丫2=一言%，凹=一1力，所以Iy1y2=J(X+-4y%=2,4小二,1+tn+7iY1+tn所以S.W=I1M-),=喀国，21q_3/_12令=C贝IJ/+1=，由于Zn2o,可得摩6，所以gz2+1/+1,4Tt1 t2_1令A。=，+,则广=中，tt因为J,>o,f在6,十可上单调递增，所以7")min=/(G)=即/)=+:,所以生g,即S=SMNQ3,i故S的取值范围是(,3>.2.己知椭圆C,+,=1(>b>O)的离心率为母，椭圆的上顶点8到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/：N=依+机与椭圆C交于异于点8的两点尸，Q,直线8P,8。与X轴相交于M(%,0),N(Xn，O)，若J-+'=1,求证：直线/过一定点，并求出定点坐标.XMXN【分析】(1)根据椭圆定义与离心率求解0C；(2)将直线与椭圆联立，写出直线BRBQ的方程，求出4”，Xn,由-+'=得到女，的关系m=-1-23从而证明直线/过一定点(2,-1).【详解】(1)£=,2a=4,a=2,c=3,h2=a2-c2=.a2故椭圆方程为y=kx+m(2)联立直线和椭圆可得2,解得(1+4A2)x2+8knr+4>-4=0,4+y=1于是有：=(8Azw)2-4(1+4A2)(W-4)>0=>m2<4jt2+1,Skm4n2-4X,+4,=-T，XxXy=b"1+4公,21+4A2由题意BP：y=-x+ifBQiy=i+1,西电分别和，=。联立得，XM=1',XN="=,-y一七1 1,I-V11-y,-kx,-m-kx-,-m,由+=1,得一21+-2=I,即'+2=1XMXNMM%2整理得(2k+1)4T2+(mT)(a+½)=0,整理得(帆一1)(2左+1+加)=0,解得m=1或者加=T2h当机=1时，直线1y="+1过点史与题意矛盾，应舍去.故直线/的方程为：y=kx-2kf过定点为(2,-1).二.直径相关定点Q223.已知4(1,一三),8(0,6)是椭圆Utr+2=1(4>Z>>0)上的两点.2Crb2(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线/交椭圆C于RQ两点(不与点B重合)，且以PQ为直径的圆经过点B,试证明：直线/过定点，并求出这个定点坐标.【分析】(1)由点8(0,6)为椭圆的上顶点，得b=5将41,-耳)代入椭圆。的方程，解出得椭圆方程；(2)由圆过点B可得直线/的斜率一定存在，直线/的方程为y=H+，P(M,y),Q(2,%),联立直线与椭圆方程，得大+%=/黑，中2=而,以PQ为直径的圆DI4TrC3IQA经过点B,所以P8QB=0,解得为定值，得直线/过定点.【详解】(1)由B(0,6)得b=6.将41,凸代入椭圆C的方程E+=1,得/=4,2cr3所以椭圆C的标准方程为工+=1.43(2)由题意可得直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为y=h+，尸(,y),。(王，必)，X-K11J-=143,消去)，可得(3+4&2)/+8团a+4m2-12=0,y=kx+fn所以玉+x2=一8km3+4?4-123+4公3/-12%23+4公3×整理得7加-6&/77-3=0,解得切=G或相=-*,所以%=2-x+km®+x2)+m2y,+y2=Ar(x,+x,)+2w=y-p-,因为尸6=(f,君一y),Q3=(2,5-%),以PQ为直径的圆经过点8,所以P8Q8=12+3-6(凹+%)+乂必=0,6m3nr-X1k23+4r+3+4公因为8(0,J)不在直线/上，所以?=Q舍去,所以直线,的方程为)，=履-孝，过定点(),_#).4已知椭圆cJ+E"">O)经过点42，。)，椭圆C的左、右焦点分别是小%经过£的动直线交椭圆C于P,。两点，且当P鸟,6入时，P4二(1)求椭圆。的方程；(2)设直线/:x=6,直线AP,AQ分别与直线/交于不同的两点O,E,证明：以线段OE为直径的圆经过X轴上的定点，并求出所有的定点坐标.【分析】(1)根据条件用小b,c表示尸点的坐标，再根据椭圆的定义即可求出a,b,(2)设直线PQ的方程为X=以及P,。点的坐标，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出P,。点坐标之间的关系，再设定以力E为直径的圆与X轴的交点为M,则有MDME=。，据此即可求出M点的坐标.【详解】(1)设耳(-c,0),玛90),则当时，点尸的横坐标为C,将X=C代入椭圆方程，得£+£=1,整理得产=与.故此时PfC,±忙,椭圆u+y=1(>b>0)经过点A(2,0),，。=2,ab-由椭圆的定义，得归用+归段=/，IP用=2TPKI=4-?=,，2=3,=3,由(1)可知。2=。2_"=4-3=1,故E(T,0).由于直线AP,AQ分别与直线/:x=6交于不同的两点O,E,故直线P。的斜率不为零.设直线PQ的方程为=my-1,尸(,),0(2,y2),=36zn2+36（3>+4）>0,x=my-1,联立E£_得（3病+4）V-6叼-9=0,T+T=,6m3m2+4jy2=-93w2+4而直线AP的方程为y=-%(-2),令彳=6,得。点纵坐标力=T，故X"Z1Z年,*);Ii-2直线4。的方程为y=3(x-2),同理，得E(6,4,设以线段QE为直径的圆与X轴的交点为(天,0),则巨=0，即(XO-6>+(J；，：?)二。,则Go_6=一I6y为I6y%16-9w2（占-2）（x2-2）（my1-3）（ny2-3）m2y1y2-3m（y1+必）+9-93m2+4=ax0-6=±2,即XO=8或=4,因此以线段OE为直径的圆经过X轴上的两个定点，并且定点坐标为(4,0),(8,0)；综上，椭圆方程C为£+匕=1,定点坐标为(4,0),(8,0).43【点睛】本题计算量比较大，这是圆锥曲线习题的特点，其中运用DE是直径，则有MD1ME,并运用向量的数量积表达是巧妙的地方，值得学习.两直线的相交定点5.在平面直角坐标系中，已知两个定点A(0,6),3(0,3),曲线C上动点P满足IPA1=2Pa(1)求曲线。的方程；(2)过点D(0,1)任作一条直线与曲线C交于P,。两点(RQ不在)'轴上)，设七(0,4),并设直线OP和直线EQ交于点试证明：点M恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.【分析】(1)设尸(无)。，进而根据距离公式整理化简即可；(2)由题知直线PQ斜率存在，设其方程为y=依+1,设P(N，y),Q(z，y2)，进而结合直线OP和直线EQ方程联立得M4中2,再结合韦达定理整理化(%一芭+4%y1x2-x1y2÷4x,J简得加=-2,进而得答案.【详解】(1)解：设尸(x,y),因为两个定点A(0,6),6(0,3),曲线C上动点P满足4=2PB.所以IPA1=JX2+(),一6)2=2Ji+(),一3)2=2P8,整理得：2÷y2-4y=0,所以,曲线C的方程为Y+y2-4y=0(2)解：因为过点。(M)任作一条直线与曲线C交于P,Q两点(忆。不在轴上)，所以，直线PQ斜率存在，设其方程为y=H+1,设尸(西，乂)，。(工2，必)，因为E(0,4),所以直线OP方程为y=21,直线七。的方程为了=2二彳+4,XX2因为y=g+1,%=62+I，4x1X2yix2-x1y2+4x1(Ax1+1)x2-x1(Ax2+1)+4x1x2+3x1_4x2y1_4x,(kxi+1)_4,v1x2+4.v2,"y2y2+(G+)2芭(乜+)+4XIx2+3x1联立方程八得俨+1卜2_2"-3=0,+-4j=0'7匚匚t、i2k3所以，i+x2=p7T,x2=F+T,所以$+/2=xx2，即-3(+%)=232k所以，将-书井1X也代入加=”空卢整理得：2k彳2十Jx1_4gW+4%_6(x+m)+4x2_2(w+3xJ_2'"x2+3x1x2+3x1x2+3x1所以，点“恒在定直线'=-2上.6.己知圆M上三点七(一点,0),Fg0),G(1,1).求圆”的方程；过点P(1O)任意作两条互相垂直的直线4，4,分别与圆M交于A5两点和CD两点，设线段AB,CD的中点分别为KS.求证：宜线RS恒过定点.【分析】(1)设出圆M的标准方程，根据圆上三个点列出方程组，求解方程组即可：(2)当人斜率存在且不为零时，设4：y=Mx-1),A(X,y),(x2,j2),联立4的方程和圆M的方程，根据韦达定理和中点坐标公式表示出R的坐标，同理表示出S的坐标，求出直线RS的方程即可判断其经过的定点.【详解】(1)设圆M的方程为(x-)2+(),一。)=,代0),(-y1-