第十二讲函数列与函数项级数.docx
第十二讲函数列与函数项级数12.1函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列(一)函数列的收敛与一致收敛1 .逐点收敛函数列(x),xc/,若对x'数列zj(x)都收敛,则称函数列在区间I上逐点收敛，记/(x)=1imj(x),xZ,称/(x)为/“(»的极限函数.简记为2 .逐点收敛的£一N定义对VX£/,及V£>o,3V=7V(x,f)>O,当>N时，恒有<(x)-(X)Ve3 .一致收敛若函数列f,(x)与函数/G)都定义在区间I上，对Vf>0,3V>0,当n>N时，对一切x恒有IEJ(X)-F(X)V£,则称函数列f,(x)在区间I上一致收敛于/(x).记为力(x)=>(XX"8)xe.4 .非一致收敛Bo>O,对N>OJ"o>N,及3,使得例12.1证明力(X)=X"在0,1逐点收敛，但不一致收敛.证明：当x,1时，Iimf(x)=Iimxrt=0,当X=I时，IimE1(I)=1,即极限函数woo.roW->oo为/(x)=10''°'1).但/“(X)非一致收敛，事实上，取/=J>00对VN>0,取1,x=131%=N+1>N,取Xo=(；)”"(0,1)此时£(%)一/()=%=g>%,即A(X)工>(8卜o,5 .一致收敛的柯西准则函数列力(X)在I上一致收敛O对Vf>0,37V>0,当n,m>N时，对一切x,恒有W(X)#<£6 .非一致收敛的柯西准则函数列力(x)在I上非一致收敛=>0，对XZN>0,3w0J0>N，R3x0E1,使得/(%)-Znoa)%例122用柯西准则证明：力=Sin=Z.X1)在一/,/上一致收敛；(2)在(-8,÷)上非一致收敛.证明：(1)对V£>o,取N='>0,当时对一切x-j有即/(X)=Sin'在X-/,/上一致收敛n(2)取4=；>0,对VN>O,取0=N+1>N,=2o,取Xo=(-,+),则有即<(x)=SinW在(_8,+)上非一致收敛n7 .充要条件函数列/,(x)在I上一致收敛于/(x)=Iimsupz,(x)-/(x1=0"xe11注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷.-(n+I)X+1,0X-例12.3讨论函数列=S+1的一致收敛性'0,!<xiH+1解：求极限函数.当x(0,1时，/(6=Iim力(X)=0,当X=O时./(O)=Hmf1(O)=I,即极限函数为00W00黑/67'i1(而看>(右=1-；=9。(8)即(二)极限函数的性质1 .连续性若满足：(1)对每一个n,£,(6在区间I上都连续；(2)x)=>/(斓8),X£1；则/(x)在I上连续，即Iim/(x)=IimIimfJ(X)=IiinIimf11(x)=/(x0)xxannXf而注：其逆否命题：若，都连续，但极限函数f不连续，则必不一致收敛.可用此命题再对例12.1及例12.3进行判断.2 .可积性若满足：<1)对每一个n,力在区间b,同上都连续；(2)fn(x)f(xn),Xayb；则/(x)在4,同上可积，且£f(x)dx=Iimfn(x)dx=呵j/fn(XMX3 .可微性若满足：(1)对每一个n,/“(x)在区间“上都连续；(2)3x0,b使fnx)fxn);(3)f'n(x)=>),a,b.则/(x)在口上可导，且/(x)=g(x),即f'(x)=(1imfn(x)=Iimf't1(%)n7woc注：以上三个定理的条件仅为充分条件.4,狄尼定理若函数列f(x)对每一个n,1(x)都在x4,b上连续,对每一点五凡/?,(x)为单调的，且Iim力(X)=/(x),x，则/(x)在M连续的充要条件是1fnW=>f(xnoo),xa9b.证明：充分性显然，下证必要性.(反证法)假设力(x)w>f(x)("oo),x。.由定义，3f0>O,对DN>0,mo>N及Xoe，,“，使得Zf,1()-()&o特别地，当取N=1,2,火,k时,分别存在>k,及Z,Z?使得IA(¾)-k)¾(*)并且不妨设v%v<%<由已知，E,(x)对固定的X是单调的，不妨设为单调递增.且1imf(x)=(x)x,U,即£(工"/2(%)4，(冗)4右/(6于是式(*)w可写为xk)fnt(¾)f0(*)由于卜JU1U为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为4，即IimZ=XG1一>00因Iimr(x)=(),对上述的?>OTN>O,当n>N时.恒有/Q)-/(x)<%特别地，有(*当/N+1>N时，由单调性及式(*)有注意到/(x)及/AM(X)的连续性，令Zf8取极限得/(x')-+1(x)o此与(*)式矛盾，即必一致收敛于f二、函数项级数(一)函数项级数的逐点收敛与一致收敛1.逐点收敛孙(X)为定义在区间I上的函数列，称S><x),%/为函数项级数.若对Vx,级数=18OO£Utt(X)都收敛.则称函数项级数%(x)在区间I上逐点收敛，称w=1n=1/(x)=(x),x/为和函数.称St1()=Suk(x)为部分和函数，Rn(x)=Suk(x)为第n项余项函数Yu11(x)逐点收敛于/(x)=IimS11(X)=f(xXS12 .一致收敛若s(x)=>/(x)(8),冗/,则称函数项级数s>“)在区间I上一致收敛于和函W=I数心.支Utt(x)一致收敛于/(x)=Rtt()=>(n),xIW=I3 .一致收敛柯西准则函数项级数在区间I上一致收敛O对De>OJN>O,当>N时，对任意的H=I自然数P，及对一切x,恒有'+I(X)+“+2(%)+注：由此可得到函数项级数之与(x)在区间I上一致收敛的必要条件：一般项“(%)一致=1收敛于零.逆否命题：若一般项肛()不致收敛于零.则函数项级数W>“(x)在区间I上必不一函数n=1项级数收敛。4 .非一致收敛柯西准则函数项级数£>“(x)在区间I上非一致收敛=为。>0,对DN>O0>N及PO和n=1/，使得I"MGo)+以0+2(/)+"m,o()*O例12.4讨论函数项级数SX”在下列区间上的一致收敛性：,1k)<<1);,).H=O1_n1解法1(用定义)：显然S(x)=当0x<1时，/(x)=1imSf1(x)=则因Iim11n1+«>+1-=-,所以mN>O,当>N时,e+I1.取=>02e对VK>O,取/%maxN,K,取Xo=1+"o,1),po=1,则1-Xx1-xSUPJ5“Of(x)=sup=F>0()-r6O,jxeO,j1X1一。/Y翦S,(*/(小嘱7J=11+所以,函数项级数SX"在一致收敛；在n=0解法2(用柯西准则)：因为Ova<1,IimaOO<(1一。上于是对任意的自然数P,有由柯西准则，在0,司上一致收敛.H=OZM-1n-J(n->).,1)上非一致收敛."=0,对D*>03N>0,当几>N时，由柯西准则知，£>"在0,1)上非一致收敛.M=O(二)函数项级数一致收敛判别法1 .M判别法若IUn(X)WMn(n=1,2,)DxI,而ZMn收敛，则XUn(X)在区间I上一致收敛，且绝对收敛.2 .阿贝尔判别法若满足：(1)ZUn(X)在区间I上一致收敛；(2)对固定的xI,v11(x)单调，且一致有界：即存在常数M,使卜n(x)M(VxI,Vn=I,2,.),则ZUn(X'n(x)在I一上一致收敛.3 .狄利克雷判别法若满足：(1)ZUk(XM(VxI,Vn=1,2,M(2)v11(x)单调且在I上一致收敛于k=1零,则ZU1I(X卜n(x)在I上一致收敛例12.5讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：(I)>1),xw(-8,+oo);(2)Z(T)SU")-,xe(),1X /2解：(1)因吗竺t(x(-8,T8),而收敛，由M判别法，XI n,npZ包空(P>1),x(一8,+8)一致收敛n(2)记%(x)=(j1,yzt(x)=(1+g,x,1,则”收敛从而关于xo,瓦InnJn一致收敛，对固定X£味(x)单调递增且有界：1v1i(x)e,对Vm=1,2,.,Vxg0,1.由阿贝尔判别法知，Ze1)J:)/0,1一致收敛.n(三)和函数的性质1 .连续性/(x)=(x),xw.若满足：(1)对每一个小(x)在区间I上连续；(2)函数项级数卜致收敛的，则和函数/(x)在I上连续，即Iimf(x)=Wxao)=/(%).xx注：逆否命题：若(X)都连续，而和函数f不连续，则必不一致收敛.2 .可积性/(x)=Z/(x)x4,U条件同上，则/(x)在。,同上可积，且/()=/(x),xw满足：(1)对每一个,(X)在区间I上连续；(2)存在x°,使Z%(%)收敛；(3)Z""(x)在I上一致收敛.则/(x)可导，且注：以上条件仅为充分条件.4.狄尼定理若对每一个在区间I上连续且非负，/(x)=Z""(x),x/,则/(x)连续=X(6在I上一致收敛.证明：充分性显然，下面证明必要性.由于对每一个此在区间I上连续且非负，所以S“=力以(X)在I上连续，且关=于n是单调递增.则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得
