半角模型综合应用（专项训练）.docx
专题06半角模型综合应用（专项训练）考点1等角三角形角含半角立型1 .如图，在aABC中，NC=90°,AC=BC,M、N是斜边A8上的两点，且NMCN=45°,【解答】解：将ACBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR,连接RM则asgzov8全等，/?AM是直角三角形：AR=BN=5,/.MN=RM=y22+2=y34:故答案是：V342 .如图，在等腰直角三角形ABC中，N84C=90°,AB=AC=I5&,点M、N在边BC上，且NMAN=45°,CN=5,MN=.【答案】13_【解答】解：等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC=152.ZC=ZC=450，8C=5"=30,把AACN绕点A顺时针旋转90°得到AABO,连接M。，如图所示：则NA8O=NC=45°,BD=CN=5,NDAN=90°,AD=ANtZDBM=45t,+45°=90°,*：ZMAN=45o,：.ZMAD=fX)0-45°=45°,Z.ZMAD=NMAN,AD=AN在aAMD和AAMN中，ZMAD=ZMAN，AB=ACAAMDAAMN(SAS),：MD=MN,设MD=MN=X,则BM=BC-MN-CN=25-x,在RtZO8M中，由勾股定理得：BDr+BM2=MD1t即52+(25-x)2=x2,解得：x=13,1MN=13;故答案为：13.3.如图I,在RtZA8C中，NBAC=90°,AB=ACt点。、E是BC边上的任意两点，且NoAE=450.(1)将4ABD绕点A逆时针旋转90°,得到aACR请在图(1)中画出AACE(2)在(1)中，连接E凡探究线段8Q,EC和。E之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由.(3)如图2,M、N分别是正方形ABCO的边BC、CD上一点,且BM+DN=MN,试求NM4N的大小.(2)连接七兄由旋转可知，F=AD,CF=BD,ZDAF=90o,VZDAF=45o,：.ZDE=ZFAE=45°,在和出£：中，,AF=AD-NDAE=NFAE=45°，AE=AEDAEME(SAS),JEF=DE,t.*AB=AC,B4C=90°,Z=ZACB=45o,ZACF=450,NEC尸=NAC8+NAC产=90°，：EF2=Ed+Fd,工D呼=Ed+B0；(3)将AADN绕点A逆时针旋转,得到如图:图2由旋转得：NNAE=90。，AN=AEfNABE=Nz)=90°,E,B,M三点共线,：BM+DN=MN,：ME=MN,在aAEM和AANM中，rAN=AE<EM=MN*AM=AM，ZXAEMgZXANM(SSS),ZMAE=ZMAN=450.考点2正方形中饱含半角横型4.(1)如图，正方形A3CD中，点E、尸分别在边3C、CO上，NEA尸=45°,延长8到点C使。G=BE,连接ERAG,求证：EF=FG;(2)如图，在aABC中，NBAC=90°,点M、N在边BC上,且NMAN=45°,若BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的长.【解答】(1)证明：在正方形48CO中，ZABe=ZADG,AD=AB,:在48后和4AoG中，'AD=AB-Nabe=Nadg,DG=BEABEADG(SAS),.NBAE=NZ)AG,AE=AG,.NEAG=90°,在/¾E和AGAF中，'AE=AG<NEAF=NFAG=45°，AF=AF¾EMG(SAS),：,EF=FGx(2)解：如图，过点C作CEJ_BC,垂足为点C,截取CE使CE=8W.连接4E、EN.'：AB=AC,NBAC=90°,NB=NACB=45°.VCE1BC,ZACE=Z5=45o.在AAAM和AACK中，AB=AC<NB=NACE,BM=CEAfifCE(SAS).AM=AEfZBAm=ZCAE.NCAN=45°.=45°.VZBAC=90o,NMAN=45°,于是，由N84M=NCAE得/MAN=NEAN在AMAN和中,AM=AE<Zman=Zean*AN=AN：丛MANqAEAN(SAS).IMN=EN.在R1ZXENC中，由勾股定理，得En2=EC2+NC2.mn1=bm2+nc2.9BM=2,CN=3,7V2=22+32,=135.已知：正方形48CO中，NMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N.（1）当NMAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN=MN;（2）当NMAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段8M,ON和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想.（不需要证明）【解答】解：（1）猜想：BM+DN=MN,证明如下：如图1,在的延长线上，截取BE=DM连接AE,AADN(SAS),：.AE=AN,NEAB=NNAD,VZBD=90o,NMAN=45°,：.ZBAM+ZDAN=45°,.ZEAB+ZBAM=450，：.ZEAM=ZNAM,AE=AN在AAEM和AANM中NEAM=NNAM，AM=AMAEAW(SAS),：ME=MN,又ME=BE+BM=BM+DN,：BM+DN=MN；(2)DN-BM=MN.证明如下：.AM=AF,ZBAM=ZDAFf：.ZBAM+ZBAF=BAF+ZDAF=90o,即MA尸=NBAo=90°,VZMAN=45o,.,.ZMAN=ZFAN=45o,fAM=AF在Aamn和N中，Zman=ZfanAN=AN.t.MANFAN(SAS),JMN=NF,：MN=DN-DF=DN-BM,DN-BM=MN6.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCo的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线C8、DC于点M、N.求证：MN=BM+DN.试判断线段MMBM、ON之间具有怎图（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时,（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时,Y四边形48C。为正方形，ZD=ZBC=90o,AD=AB,在AAB"和AADN中，rAB=AD-Nabh=Nadn,BH=DNABHAADN(SAS),IAH=AN,ZHAB=ZNADi<NMAN=45°,.ND4N+N84M=45",.NM8+N84M=45°，NHAM=ZNAM,在AAMH和AAMN中，,AH=AN<Nham=Nnam,AM=AMAMHMN(SAS),JMH=MMBJHB+MB=MN,：.MN=BM+DN；(2)解：MN=DN-BM.理由如下:在QN上截取f>H=8M,如图(2),与(1)一样可证明aAOHZ48M,：.AH=AM,NDAH=NBAm,VZMAN=450,；NDAH+NBAN=45°,ZHAN=450,："HAN=/NAM,在和aAMN中，'AH=AM<NHAN=NMAN，AN=ANNHAMN(SAS),；NH=MN,而DN=DH+HN,：BM+MN=DN,即MN=DN-BM.考点3等边三角形中120含60卷半角横生7.如图，在4A3C中，ZBAC=120o,AB=AC,点M、N在边BC上，且NM4N=60°.若BM=2,CN=3,则MN的长为.【答案】7【解答】解：如图，ZA8f绕点A逆时针旋转120°至AAPG连接PM过点?作BC的垂线，垂足为Q,YNBAC=120°,AB=ACf.NB=NACB=30°V4WAPC,NB=NACP=30°,PC=BM=2,ZBAM=ZCAPt：.ZZVCP=60°,VZMAN=60o，NBAM+NNAC=NNAC+NCAP=60°=NMAN,*：AM=AP,AN=AN,，ZiMAN和/¾N中，'AM=APZman=ZpanAN=AN MANg附N(SAS),：MN=PN,VPD1CMZNCP=60°,CD=Apc=I,PD=3cD=32 DN=CN-CQ=31=2, w=(3)2+22=7故答案为：78.ZA5C中，ZBC=,AB=ACf点、D、E在直线5C上.(1)如图1,D、E在BC边上，若=120°,且aJ+ac2=QC2,求证：bd=ad.(2)如图2,D、E在8C边上，若=15O°,NDAE=75°,且瓦求ZBAD的度数.(3)如图3,。在CB的延长线上，E在BC边上，若NBAC=a,ZDAE=i8O°-J1ci,2ZADB=15o,BE=4,Bo=2,则C£>的值为.图3【解答】(1)证明：.AD2+AC2=OC2,ZDAC=90o,VZC=120o,ZBAD=-ZDAC=30o，,.ZAB=AC,ZB=ZC=30°,二NBA。=/5=30°,：.BD=AD.(2)解：如图(2),将AAEC绕着点A顺时针旋转150°,得到B,.AE,=AE,NABE'=ZCBE'=CE,NEAC=NE'AB,VZfiAC=150o,ZDAE=75°,ZfiAD+ZEAC=75o,ZBAD+ZE,AB=ISo,即NE'AD=JSo,:E'AD=ZEAD,又YAQ=AO,AE=AE1,AE,DAED(SAS),.DE,=DE,NE'DA=ZEDAt<">2+8D2=Cfi2,E,D2+B1>2=BE'2,.,.BDE,=90°,ZE,力A=NEz)A=45°,VZBAC=150o,AB=ACf.Ab3产°=15。，：.ZBAD=ZADC-ZfiC=450-150=30o,故NBAo=30°.(3)解：如图(3),作E关于AD的对称点尸，连接。立AFfCF,作尸GJ_8C,VF,E关于4。对称，：.AF=AEtDF=DE,*：AD=AD,：.ADFADE(SSS),'Ndaf=Ndae=180°总5ade=zadf=5o,ZFDC=30°,/.ZEAF=360o-ZDAF-ZDAE=a=ZBAC,：.ZBAEZCAFf*：AB=ACtAE=AFt：.AABEACF(SAS),CF=BE=4,在Rt。G中，N7)G=30°，DF=DE=BD+BE=6,FG=yDF=3,DG=VdF2-FG2=3>3,FC=BE=4,FG=3,cg=Vfc2-FG2=7*,CD=CG+DG=7+33故答案为：7+33E'（3）
