第7讲 导数中的5种同构函数问题 解析版.docx

导数中的5种同构函数问题【考点分析】考点一：常见的同构函数图像八大同构函数分别是：y=xex,y=-iy=-,y=x1nx,j=-,y=,y=ex-x-1,eXInxXy=x-InxT我们通过基本的求导来看看这六大同构函数的图像，再分析单调区间及极值，以及它们之间考点二：常见同构方法(1)xex=enx'9x+nx=n(xex(2)=ex1nxx-nx=n-XX(3)x2ev=ex+2,nr;x+21nx=1n(x2e')(4)4=*?叫马入旧山【题型目录】题型一：利用同构解决不等式问题题型二：利用同构求函数最值题型三：利用同构解决函数的零点问题题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：利用同构解决不等式问题例1(2023河南模拟预测(理)不等式21nx>x1n2的解集是()A.(1,2)B.(2,4)C.(2,+)D,(4,+)【答案】B【解析】【分析】结合不等式特点，构造函数，研究其单调性，从而求出解集.【详解】设/(X)=则/'(H二号X，当0<x<e时,()>O;当x>e时,/()<0,所以/()在(0,e)上是增函数，在(e,+8)上是减函数.原不等式可化为野，即/(x)>(2),结合/(2)=/(4),可得2<x<4,所以原不等式的解集为x2<x<4.故选：B【例2】(2023陕西宝鸡一模(理)已知>1,h>,则下列关系式不可能成立的是()A.efrInaabB.efrInaabC.aehbnaD.aehbna【答案】D【解析】【分析】构造函数/(x)=AInMX>0),利用导数判断其单调性可判断AB；构造函数g(x)=，(x)=-,利用导数判断单调性可判断CD.X4【详解】对于efe1na<ab,两边取对数得In(e”na)n(ab),即一In8Ina-In(Ina),构造函数/(x)=XTnX(X>0),(x)=1-1=1,当x>1时，gx)>O,/(x)是单调递增函数，当0<x<1时，/x)<0,/(x)是单调递减函数，若1<b1n,则b-1nb1n-In(1n),即e"1na必，故A正确；若1<1nWb,则人一1nb1nIn(Ina),ehnaab1故B正确；构造函数g(x)=G,(x)=-,XXg，(X)=F=当人>1时，g<x)>O,g(x)单调递增，所以g()>g=e,/(x)=1詈，当x>e时，Z(x)>O,MX)单调递减，当0<x<e时，MX)<0,(x)单调递增，(x)(e)=-,e所以工>1时g(x)>MX),BP>-,ba所以e56n成立，讹加n不可能成立，故C正确D错误.故选：D.【点睛】思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否.【例3】(2023陕西长安一中高二期末(理)已知OVXVyV"，且e'sinx=e'si”,其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是().TC_TC_XX.A.y<B.x+y<C.cosx+cosy>0D.sinx>sny【答案】C【解析】【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.【详解】ix1mv.X.UUzSinXsiny因为esnx=e'smy,所以=,eey令耳=邛，所以g()=g(y),对函数g(f)=斗，ft(0z)求导：ee、ezcos/-ezsin/COSr-Sinr.,z.小；Tg")=；，由短(。>。有：(0,-),(e)e4由/Vo有：飞小幻，所以以"=邛在(0,£)单调递增，在(f)4e'44单调递减，因为0<xvy<乃，由g(x)=g(y)有：O<%<f<y<r,故A错误；因为OVXVy<不，所以e'>e由生用="上有：siny>sinx,故D错误；因为0<x<(<y<乃，所以COSX=J1-sin2>0,18SyI=J1-siny因为Siny>sin%所以COSX>cosy|,所以8sx+8sy>0,故C正确；JrJTCOSt-sin/Sin/COS/令")=g(D-g(T)有：h,(t)=gt)-g,(-t)=；+TJ-22ee2二(sin"cos)(eF),当。<，<仅)>0®成立.所以W)=g(f)-g(g)工2e2在(0,外单调递增，当0vx<?时，=g(x)-gf7)<0,即g()<g(g-X),又g()=g(y),所以g()=g(y)<g(j-),因为O<x<f<y<%,所以gxs(g,g),因为g。)二)在4242e(V)内单调递减，所以丁吟孙gy+x>p故B错误.故选：C.【例4】(2023江苏苏州模拟预测)若X,y(0,+),x+1nx=ev+siny,则()A.1n(x-y)<OB.1n(y-x)>OC.<evD.yv1nx【答案】C【解析】【分析】利用y>Sin)，可得HInx<ev+y,再利用同构可判断e,的大小关系，从而可得正确的选项.【详解】设/(力=X-SinX,x>0,贝IJr(X)=I-COSXO(不恒为零)，故/(力在(O,M)上为增函数，故/(r)>f(O)=O,所以X>sinX,故y>sin)，在(O,+)上恒成立,所以x+InXVe"+y=ey+Iney,但g(x)=x+1nx为(0,+oo)上为增函数，故<e'即加x<y,所以C成立，D错误.取X=e,考虑1+e=e'+si”的解，若ye+1,则e'e0*>5>e+21+e-Siny,矛盾，故yve+1即.y-xv1,此时1n(y-x)<O,故B错误.5X.v=1,考虑x+1nx=e+sin1,若x2,则x+1nx2+1n2<3ve+；ve+sin1,矛盾，故x>2,此时x-y>1,此时In(X-刃>0,故A错误，故选：C.【点睛】思路点睛：多元方程隐含的不等式关系，往往需要把方程放缩为不等式，再根据函数的单调性来判断，注意利用同构来构建新函数.【例5】(2023四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测(理)已知。、beRia2ea+na=O1/"n(力+Inb-3)=1,贝Ij()A.ab<ea<bB.ab<ea=bC.b<ea<abD.ea=b<ab【答案】B【解析】【分析】由"e+1na=0可得出e"=1n1构造函数/(x)=xe'可得出+hw=(),可得出e"=1,由aaZHn1+In-=1可得出b+1n/x1e%,构造函数g(x)=x+e"可得出:+心，=。，然后构造函数kO)bdbMX)=X+Inx可得出再对所得等式进行变形后可得出合适的选项.b【详解】由z1+1n=O可得e"=-11na=1In由题意可知。>0,aaa构造函数/U)=*,其中x>O,则r(x)=(x+1)e'>0,所以，函数/(x)在(0,y)上单调递增，由流“=1n1=/"!可得"。)=了!口，aaaIaJ所以，a=-nay由q>0可得InaV0,则O<v1,且+1n=O,由+-g)=1可得b+nO-1=e%,则b+1nb=，+®,由题意可知O>O,Ib)bb构造函数g(x)=x+e*,其中x>0,则/(x)=1+e*>O,所以，函数g()在(0,田)上单调递增，由+1n=，+«,即1也+叫+/,可得g(1nb)=g,所以，Inb=bbb)b由Inb=<>0可得0>1,且g=Tng,则：+1n：=O,bbbbb令力(X)=X+1nx,其中人>0,则“(x)=1+J>O,所以，函数(X)在(0,+8)上为增函数，由可得Ma)=«£|=0,所以，a=1,可得必=1,由+In=Inea+In=In(e")=0可得e"=1,则e"=，=，因为OVae1,贝IJa/?=1<e"=6,故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查指对同构问题，需要对等式进行变形，根据等式的结构构造合适的函数，并利用函数的单调性得出相应的等式，进而求解.【题型专练】1. (2023陕西泾阳县教育局教学研究室高二期中(理)已知>b>O,且满足MnO=ZHna,e为自然对数的底数，则()A.be<ea<ehB./<ez,<eaC.eh<et,<bcD.e"<bc<eh【答案】B【解析】【分析】构造函数f()=W,(>o),利用导函数研究函数的单调性判断即可.【详解】解：因为y=e"在R上单调增，a>b>O1所以e">e3故A、D错误；构造函数/(力=W，(x>o),贝IJr(X)=上詈=0,x=e,当x(0,e)时,(x)>0,7%)单调增,当xe(e,+)时，f(x)<O,Jfa)单调减,因为1nb=61na,=华，即/(a)=/®,又>b>O,ab所以0vb<e,>e,1n>0,anb=hna>Oi所以1<b<e<4,PU1,e1nZ?</?1ne,Inbc<Inefr,即0<e',be所以e"vvd,故B正确.故选：B.2. (2023全国高三专题练习(理)设4=2023切2,8=202严，c=2023,则()A.a>h>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【答案】A【解析】【分析】1n2023由于曾=,所以构造函数/U)=坐(N),利用导数判断其为减函数，从而可比较出1nZ>mzu2i+v/2023/(2023)>(2023)>0,进而可比较出。力的大小，同理可比较出Ac的大小，即可得答案【详解】M2023Ina20231n2023?n?iIJtr-Tr加“/、八、_x+1-XhU,前=丽丽T圜,构造函数">二1卜")，小)一诉广2023令g(x)=x+I*则/(X)=-InX<0,g(x)在/,y)上单减，.g()g()=r2<o,故r()<o,"("在乙甸上单减，”(2023)>(2023)>0,.Ina=f(2023):1"InZ?/(2023)In>1n?.a>b,同理可得1nb>1nc,b>c,故”>c,故选：A3. (2023广东中山市迪茵公学高二阶段练习)已知>b>O,下列不等式，成立的一个是()A.ai-b>a-bB.na-nb>a-bC.sina-sinb>a-bD,ea-eft>a-b【答案】D【解析】【分析】在>0时，itSf(x)=x3-x,g(x)=InX-x,h(x)=sinx-x,(x)=er-x,探讨它们的单调性即可分别判断选项AB,C,D作答.【详解】Ba3-by>a-b<>a3-a>b3-b1贝IJ令f(x)=x3-x,x>0,f,(x)=3x2-1,显然函数f()在(0,孝)上递减，在(*,+)上递增，即函数/O)在(0,M)上不单调，而4>b>