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27整体思想W阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较简单的问题，然后再分而治之，各个击破,与分解、分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体人手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题的方向的策略，在整体思想的指导下，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径有：1 .整体观察；2 .整体设元;3 .整体代入；4 .整体求和;5 .整体求积等.妄例题写求解例1某市抽样调查了IOOO户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是88000元;由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这IOOO户的平均年收入比实际平均年收入值高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是.（北京市竞赛题）解题思路仃IOOO个未知量，而等式只有两个，显然不能分步求出每个未知量，不妨从整体消元人手.例2设a、b、C是不全相等的任意数，若x=a?be,y=b2ac,z=c2ab,则x、y、Z中（）.（全国初中数学联赛试题）（A）都不小于零（B）都不大于零（C）至少有一个小于零（D）至少有一个大于零解题思路由于a、b、C的任意性，若孤立地考虑x、y、z,则很难把握x、y、Z的正负性，考虑整体求出x+y+z的值：例3如果a满足等式2a2+3a-1=0,试求的值.3a（天津市竞赛题）解题思路就目前不能求出口的值，寻求待求式分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代人求值.例4已知匹，X2,"，Xn都是+1或一1,并且土+土+丛+土曰+土=0,WX3X4Z再求证：n是4的倍数.解题思路可以分两步，先证n是偶数2是，再证明走是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发.例5如图，将1,2,3,4,5.6,7,8,9,10这十个数分别填人图中的十个圆圈内，使任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一I个整数M,求M的最小值并完成你的填图.（第十三届北京市“迎春杯”竞赛题）解题思路设满足已知条件填的数依次为,电,修。，依题意可得到含M的多个不等式，孤立地不能求出M值，从整体考虑作为解题的突破口.能力训练1 .已知密码：3ABCPQR=4PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码译成式子是,2 .一个六位数2abcde的3倍等于abcde9,则这个六位数是3 .角,y中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算七（+"y）的值时，全班得23.5°,24.5°,25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是.4 .已知a?=3a1,则的值为a2+5 .已知41,a2,41991都是正数，设M=（4+2一+。990）(a2+a3+-i99i)»N=(1÷2-+1991)(a2+a3+a199Q),刃K么M与N的大小关系是M.（北京市“迎春杯”竞赛题）ax2+bx+=O6.若方程组bx2+x+=O有解，则a+b=X2+ar+8=0（武汉市选拔赛试题）11CZYX+y2z67.若正数X,y,Z满足不等式y,Z的大小关系是（）.35,1XYy+zY-X贝IJX,2311yYx+ZYV24(A)x<y<z(B)y<z<x(C)z<x<y(D)不能确定8 .若(3x+1)5=a5+b4+c3+d2+e+f,则ab+cd+ef的值是().(A)-32(B)32(C)1024(D)一10249 .在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60,那么这三人中最大年龄与最小年龄的差是().(A)28(B)27(C)一2(D)210 .设a,b,C满足等式x=a?-2b+X,y=b22c+-,z=c?2+工，则x,y,z362中，至少有一个值().(A)大于0(B)等于0(C)不大于0(D)小于0(2002年全国初中数学联赛题)11 .求证：(x+y-2xy)(x+y2)+(1-xy)2=(z+yXy1)212 .有甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件，丙1件，共用84元，问买甲2件，乙3件，丙4件共需多少元？13 .有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为5,试求这个四位数.(江苏省竞赛题)14 .代数式ruz-rwy-suz+swx+tuytvx中，r>s、t>u、v、x、y、Z可以分别取+1或一1(1)证明代数式的值都是偶数；(2)求这个代数式所能取到的最大值.(“华罗庚金杯”赛试题)15 .如图，在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6,能否使任意三个相邻顶点处的三数之和CC大于9?yy(2)大于10?r若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由.<>(第十五届江苏省竞赛题)