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立体几何大题15种题型全归纳【题型一】平行1：四边形法证线面平行【典例分析】如图，在正方体A3C。-AMGR中，E,尸分别是AA,CO的中点.（1）求证：及7/平面AC（2）求异面直线ED1与AC所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）姮.15（1）在正方体ABcD-A片GA中，取CA中点G,连接/G,GA,如图，而尸是8的中点，则FGOR,=又E是AA的中点，则AEOR,AE=g2,因此，AyEHFGfAiE=FG,四边形FGAE是平行四边形,有EF/GAi,而斯仁平面AxCDi,GAIU平面A1CD1,EFH平面AO1.【经验总结】基本规律】利用平移法做出平行四边形2.利用中位线做出平行四边形【变式演练】1 .如图所示，在四棱锥RABC。中，PC1Jg1iABCD,AB1ADfABHCD145=2AO=28=2,E是PB的中点./；(I)求证：CE/平面布。；（2）若PC=2,求三棱锥P-AeE的体积.【答案】（1）证明见解析（2）；【分析】（I）取以的中点凡连接EFfDF,利用平行四边形证明ECHDF,再由线面平行的判定定理即可得证；（2）根据等体积法知CE=%.g>,即可由棱锥体积公式求解.（1）取附的中点F,连接EHDF,点、E,尸分别为PB,外的中点，I）：.EFHAB,EF=-AB,又,：DCAB,DC=-ABf22EF/CD,M=CO,，四边形E尸OC是平行四边形,/.ECHDF,又YECa平面以。，QpU平面附。，支平面网2 .如图，在四棱锥P-ABCQ中，E4_1面ABCQ,AB/CD,JCD=2,AB=I,BC=2五，PA=fAB1BC,N为PD的中点.(1)求证：AN平面P8C；(2)求平面P4O与平面PBC所成二面角的余弦值；(3)在线段Po上是否存在一点用，使得直线CM与平面尸AC所成角的正弦值是退,29若存在求出部的值，若不存在说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)I(3)存在，73 4(1)证明：取C9中点F,连接NEBF,NF=-DCf2又A88,且CD=2,AB=I=DCf所以四边形NA8"是平行四边形,.ANBF,又4V0面P8C,BFEPBCo所以AN平面P8C；【题型二】平行2：中位线法证线面平行【典例分析】.如图，四棱锥尸ABCO中，侧面?Az)J_底面A8C。，底面48C。为梯形，AB/DCt且AP=PD=CD=2AB=23,NAH)=NAoC=60°.AC交80于点尸，G为AJ¾I)的重心.RC（1）求证：GF/平面小B;（2）求三棱锥8-GFC的体积.【答案】（1）证明见解析（2）B3【分析】（1）连接Z）G并延长交巴于点E,连接跖，由已知条件可得得-7r=rS=v'再由G为PAD的重心，=>则有-z=T,从而可得GFEB,FBAB1GE1FBGE1再由线面平行的判定可证得结论，（2）由已知可得PAD和ZiAOC为正三角形，连接PG并延长交AD于点M,有QWj_AD,2则PM_1面A8CD,从而可得匕.gw=%-%c=5%t8C,然后由已知条件求解匕;T“，（1）证明：在图中：连接OG并延长交R1于点E,连接M.由底面ABC。为梯形，AB/CD,CD=IAB,2,x,aM壬、DG21DFDG2=；.又由G为Zxfad的重心，=，贝=;1GE1卜BGEI所以GF7/E6.而GFt平面PAB,EBU平面所以G尸平面¼b.【经验总结】基本规律中位线法难点在于怎么“发现三角形”【变式演练】1如图，三棱台A4a-A8C,平面AACG_1平面4BC,侧面AACG是等腰梯形,ZA1AC=j,NACB=yAC=BC=24,C1=2应，M,H分别是AB,Ac1的中点.（1）求证：G"/平面A与；（2）求GM与平面4与C所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）里.7【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可;（2）利用平行线的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥等积性、线面角的定义进行求解即可.（1）证明：连接AM与AB1交于点产，连接尸”，因为AC=2AG,所以由棱台的性质可知：4B=2A内，且A8Mq,因为“是AB的中点，因此AM=A与，因此四边形AMgA是平行四边形，所以P是AM的中点，又，是AG的中点，2.如图，在四棱锥P-ABCO中，PA_1平面4BCD,ADHBCtNBAD2AD=2A=2BC=2PA=4,M为PB上靠近B的三等分点.【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】(1)以线面平行的判定定理去证明即可解决;(1)求证：PO平面ACM：【题型三】平行3：做平行平面法证线面平行【典例分析】如图，Cf。分别是以AB为直径的半圆。上的点，满足BC=8=D4,ZiFB为等边三角形，且与半圆0所成二面角的大小为90。，E为雨的中点.DE平面PBC；(2)求二面角A-BE-O的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)叵7【分析】(1)通过证明平面。叫£7/平面尸8C来证得OE平面P8C.(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角A-班:-。的余弦值.(1)依题意BC=CO=OA，所以ZAOZ)=ZZ)OC=NCOB=60°,所以三角形A8、三角形DOC、三角形COB是等边三角形，所以OB=BC=CD=OD,所以四边形08CD是菱形，所以OD/BC,由于ODU平面尸3C,5Cu平面P4C,所以0。平面尸3C由于E是¾的中点，。是AA的中点，所以OE"PB,由于OEU平面P3C,PBu平面PBC,所以OE平面P3C.由于OECOD=O,所以平面OZ)E平面PBC,所以。E平面QBU【经验总结】基本规律做出平行平面来证线面平行，属于“麻烦的方法”，但是在证明后续的“探索性”题型时非常实用。授课时可以先用“中点型”培养“找面做面”的思维。【变式演练】1在四棱锥尸-A88中，BC=BD=DC=2耳，AD=AB=PD=PB=2.(1)若E为PC的中点，求证：BE平面布D(2)当平面PM，平面ABCQ时，求二面角C-PQ-B的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)叵13【分析】(1)作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角.(1)取Co的中点M,连接EM,BM,由已知得，Co为等边三角形，BM1CD.VAD=AB=2,BD=23,/.ZADB=ZABD=30o,Z4DC=90o,BM/AD.又Y的匚平面布。，ADU平面布。，8W平面¾D£为PC的中点，M为。的中点，EMPD又丁EMa平面¾Q,PDU平面RIQ,平面Z¾D：EM1BM=M,Pz)CD4=£>,，平面BEM平面FD.'8Eu平面BEM,BE平面¾D2.如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCO是一个等腰梯形，AD/BCf且AD=2AB=2BC=4fPO是尸AO的中线，点E是棱PO的中点.(1)证明：CE平面¼B.(2)若平面PA。，平面ABCO,且PA=PRPO=40,求平面以4与平面PC。夹角余弦值.(3)在(2)条件下，求点。到平面EAB的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)：；(3)生©.【分析】(1)连接。C、0E,平行四边形的性质、线面平行的判定可得OE平面RA5、CW/平面RR,再根据面面平行的判定可得平面OeE/平面%利用面面平行的性质可证结论；(2)取BC的中点为连接。河，证明出P0_1平面ABCD,OM上BC,以。为坐标原点，OM.OD>9的方向分别为X轴、>轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面RS与平面PCD所成锐二面角的余弦值.(3)利用等体积法，匕物=求。到平面的的距离.(1)连接0C、0E,由。、E分别是棱A。、AD的中点，则OE/¾,0Ea平面¾B,AAU平面/¼A,则OE平面R43.又ADMBC,且Ao=2A8=28C=4,AO/8C且Ao=BC,四边形46Co是平行四边形，则CO/AA,.COu平面皿，AB平面则Co/平面R44.又COcOE=O,可得平面OCE平面R针.又CEU平面OCE.CE平面23.【题型四】平行4：难题-线面探索型【典例分析】在四棱锥P-ABCD中，底面ABa)是菱形，ACQBD=O.(I)若AC工PD,求证：4。_1平面心。；(H)若平面BAC_1平面ABCQ,求证：PB=PD;(In)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BW/平面PAD，若存在，求会的值；若不存在，说明理由.【答案】（I）证明见解析；（H）证明见解析；（In）不存在.【详解】【分析】（I）由ABCO是菱形可得ACI8。；结合AeIP。，由线面垂直的判定定理可得AC，平面PAo.；（H）由（I）可知ACIP。,由面面垂直的性质可得1P0,结合BO=OO可得结果；（In）利用反证法，假设存在点M（异于点C）使得5M/平面PA。，可推出平面平面BAD，从而可得结论.（I）因为底面A8C。是菱形。所以AC"1BQ又因为AC，。，PDRBD=D,所以4C_1平面PAQ.（H）由（1）可知AC_1P。.因为平面PAC1.平面ABCO,平面PACC平面ABCD=AC，Po_1平面A3CD,因为加U平面PAC，所以BO_1PO.因为底面ABCO是菱形，所以BO=DO所以尸5=HT（III）不存在.下面用反证法说明.假设存在点M（异于点C）使得平面QAO在菱形48CQ中，BC/BC,因为3Mu平面Q4。，BCU平面940,所以BC平面QAo.因为_1平面PBC，BCA.平面PBC，BCnBM=B，所以平面PBC平面QAZZ而平面PBC与平面PAO相交，矛盾.【经验总结】基本规律1 .常规题，对应的点大多在中点处。2 .要多训练非中点的题选。【变式演练】1.如图所示四棱锥尸一ABCZ）中，/%_1底面ABeQ，四边形ABC。中，AB±AD,BC/ADPA=AB=BC=2,AD=4.P（1）求四棱锥P-ABCD的体积；求证：CQJ_平面PAC；（3）在棱PC上是否存在点例（异于点C）,使得6M平面尸4。，若存在，求器的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）4；（2）见解析；（3）不存在.【解析】【分析】（1）利用四边形ABCD是直角梯形，求出SMC0，结合尸A_1底面48CQ，利用棱锥的体积公式求解即可求；（2）先证明PAj_C£，AC1CDf结合BACAC=A,利用线面垂直的判定定理可得CQ_1平面尸AC；（3）用反证法证明，假设存在点M（异于点C）使得平面PAD证明平面PBc7/平面PAQ，与平面PBC与平面尸Ao相交相矛盾，从而可得结论.【详解】（1）显然四边形力是直角梯形，=g（8C+A。）XAB=TX（2+4）x2=6又PA_1_底面ABCDVp-ABCD=SABCDPA=g62=4（2）E4_1平面力%。，CDU平面力灰力，.