概率论与数理统计C课件第四章_反常积分的收敛性.docx

习题&2反常积分的收敛判别法1 .证明比较判别法(定理8.2.2)；举例说明，当比较判别法的极限形式中/=O或+8时，J：。a)公和7")公的敛散性可以产生各种不同的的情况。解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在4+co)上恒有0f(X)K(x),其中K是正常数。则当风幻心:收敛时/(X)公也收敛；当£/()公发散时j"o()公也发散。证当收敛时，应用反常积分的CaUChy收敛原理，W£0,30a,VA,A,Aq:J；xdx<°于是JA/(x)d<aKe(X)叫<,所以J'/(x)"x也收敛；当7(幻公发散时，应用反常积分的CaUChy收敛原理，3¾>0,VAO,3A,A,o:f(x)cbcKo于是J；(xdx卜；(x)dx,所以J：/*)公也发散。(2)设在0,+8)上有f(x)0,(x)0,且Iim=0o则当+'f(x)dxXT+0(x)Ja发散时，J7>(x)dx也发散；但当JfV(X)公收敛时，J7>(x)dx可能收敛,也可能发散。例如/*)=4，(x)=(O<P<2),则Iim这=0。显然有Xxpx+x)r°f(x)dx收敛，而对于广e(x)dx,则当1vpv2时收敛，当0<p1时发散。设在,+8)上有f(x)0,x)0,且Iim=+ooo则当XTxo)J：F(Xg收敛时，J：O(XM也收敛；但当广AXMX发散时，r°(x)dx可能发散，也可能收敛。例如F(X)=4，(x)=-(p>-)，则Iim4=+oo0显然有xxp2XTye(X)广7*)公发散，而对于>(外公，则当g<p1时发散，当p>1时收敛。2 .证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。证定理&23(CaUChy判别法)设在,+8)u(0,+oo)上恒有/(%)0,K是正常数。若/(x)匹，且p>1,则r"(x)公收敛；xpJ"(2)若/(x)t,且p1,则厂/(XMX发散。推论(CaUehy判别法的极限形式)设在k+oo)u(0,+8)上恒有U)0,且IimXPf(X)=I,+则若0<v+,且则J"(x)dr收敛；(2)若0v+,且1,则/(x)dr发散。证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极限形式)，将函数e(x)取为二。X13.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：P+a.arctanX,(1)厂厂I9;(2)J.dx,y,x3-e2x+1nx+1IfyXq/.×J；:e；(E公(PM)*°1+xsnxI解(1)当x+oo时，11_Z*yx3-e2x+1+11X2所以积分Jr73:IdX收敛。J1x3-e-2x+Inx÷1(2)当xf+oo时，arctanx1+x32,所以积分JJ专詈公收敛。(3)因为当x0时有i-j-1,1+XSinM1+X而积分J；1公发散，所以积分J(TI-J公发散。Jo1+XJ。1+xsnxI(4)当xf+oo时，Xq1+xpP所以在-夕>1时，积分J:卢公收敛，在其余情况下积分j,+xp井上公发散。J1+p4 .证明：对非负函数/(x),(cpv)O(x)d收敛与公收敛是等价的。证显然，由70)办收敛可推出(CPV)J:x)办收敛，现证明当/(x)0时可由(cpv)IZfMdx收敛推出J二7(X)公收敛。由于(CPV)J=f(x)公收敛，可知极限IimF(A)=Iimaf(x)dx1+oo1+ooJ-A存在而且有限，由Cauchy收敛原理，e>0,3>0,VAA'0:F(A)-F(Ar)<,于是A,A')与8,90,成立Hfa)N<I/(A)-尸(A)IVE与(x)F(B)-F(Bt)<,这说明积分f(x)dx与Cj(X)公都收敛，所以积分(x)公收敛。5 .讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同)Jr1TnASinzZx;(2)J公(/?R+);J?Inx"p/C、r+sinxarctanX.z、z,r+./八，(3)dx(pR)；JOsm(x2)d;.X亿严，SinXdX(Pm(X)和%(x)分别是"7和次多项式，儿q大)(5)g(x)在x,+oo)范围无零点。)解(1)因为尸(A)=J；SinXdX有界，JnInX在2,+oo)单调，且Iim1%=0,/InX+8Inx由DiriChIet判别法，积分J皆Sinx公收敛；J2Inx小工In1nx.、InInX.21In1nxz1。、而工人由于sinxsinX=(1-cos2x),而枳分InXInX2Inx丁吟公发散，广但cos2Mx收敛，所以积分广皿SinX公发InX2InXInx散，即积分广喏Sinmr条件收敛。(2)当p>1时，誓=7,而/0-1公收敛，所以当p>1时积分X1X1XpJ:处心绝对收敛；J1p当0<p1时，因为尸(A)=J:SinMr有界，；在口,+oo)单调，且Iim-1=O,由Dirich1et判别法,积分广皿公收敛;但因为当01+xjvPXP时积分J1应"IdX发散，所以当0<p时积分/当公条件收敛。Xx"(3)当p>1时，sinxarctanx-,而°-1公收敛，所以当时XP2xpj,XP积分sinxar;tan、x绝对收敛;当0<p1时，因为尸(A)=J:SinMr有界，”写叫在1,+8)单调，且Iim吧吧=0,由DiriCh1et判别法，积分J；SinXarCtan收敛;但因x+coXPJ1P为当0<p1时积分8罩斗in加发散，所以当0<p时积分的詈”公条件收敛。由于J:翟力条件收敛，可知mA.7r+oo./2、，,+8sin，,令=x,fsm(x)dr=n-i=dtJoJo2r积分J；'Sin(X2)d条件收敛o(5)当>m+1且X充分大时，有Sin工q)与,可知当>m+1时X积分厂器M绝对收敛。当"=7+1时，因为尸(A)=J；sinxdx有界，且当X充分大时，1qQ)单调且Iim29=(),由DiriCh1et判别法可知9SinMX收敛；但XTeq“(x)Jaq,1(x)由于当工+8时，区回J易知广qn(x)XJ,PmM.Sinx4(外公发散，所以当=加+1时，积分也3sinxdx条件收敛。纵(R)当<机+1时，由Iim=A,A为非零常数、+8或-8,易知+8qn(x积分厂器M发散。6.设/(X)在W,切只有一个奇点X=。，证明定理8.2.3和定理8.2.5'。定理8.2.3,(Ca1IChy判别法)设在上恒有AX)0,若当X属于人的某个左邻域g-外,力时，存在正常数K,使得f(x)'y»且V1，则M攵敛；(2)f(x)S£*，且1,则hafxdx发散。证(1)当P<1时，积分J：IXdX收敛，由反常积分的CaUChy收敛原理,>0,B>OV(O,S):"dx<邑。JJYb-X)PK由于门'N仁：念W所以Jv(X心收敛。(2)当p1时，积分加士？公发散，由反常积分的CaUChy收敛原理,6,0>0,V3>0,V(0,5):0由于仁”(汹仁念T£。，所以*(x)公发散。推论(CaiIChy判别法的极限形式)设在值切上恒有/(x)0,且1im(b-x)pf(x)=I,XTb-则若0v+,且p<1,则/(冗M收敛；若0v+,且p1,则J：f(X)公发散。证(1)由Iims-X)P/(x)=/(p<1,0Z<+),可知.v6-3>0,Pxe(b-,b):f(x)<-1-1-,(Dp再应用定理8.2.3,的(Do(2)由IimS-X)P/(x)=/(p1,0</÷),可知JCTb一3>0,PXn,b):f(x)>-，2(b-x)p再应用定理8.2.3,的(2)o定理8.2.5，若下列两个条件之一满足，则J>(x)g(x)公收敛:(1) (Abe1判别法)/(%)公收敛，g()在,6)上单调有界；(2) (Dirich1et判别法)/()=J"'/(x)dx在(O,b-上有界，g()在a,。)上单调且Iimg(x)=0。XTb一证(1)设Ig(X)IG,因为J>(x)办收敛，由CaUChy收敛原理，V£>0,>0,VA,A,(b-,b):'f(x)dx<o由积分第二中值定理，J：f(x)g(x)dx伞(4»J"(x心卅g(A)“：f(x)dxGJ；f(x)dx+GJF(X<=C(2)设I尸M,于是WAA",有力(X)斗2M。因为Iimg(X)=0,V£>0,3<y>0,VXS-5,0),有Ig(X)I<。由积分第XTb-4M二中值定理，J：f(x)g(x)dx伞(硼"(不同市(4)f(x)dx2Mg(A)+2MIg(A,)<=.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有"")g(x心收敛的结论。Ja7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:If1InxhE公CJ一；。匕等公；j°cos2xsn2X)°pJ；IInX1"公；T(I-X)2公；xp,d-xr,I1nxUx.解(1)因为-r=X=A(x0+),1-(x1-),m2(17)1x2(-x)(1_x)5所以积分J、dx收敛。0Ijx2(I-X)(2)因为Iim?，=1且对任意O<S<1,Iimn-=0>即当x>0Xfr2_12x0÷X2_1充分小时，有I聋。，所以积分1署公收敛。(3)因为-(x0+),=-(xg-),cosxsinXXcosxsinx(乙_%)22所以积分12I2公发散。J。cos-xsn2X(4)因为a丝1丁(0+),所以当p<3时积分3些公收xp2xp-2j°XP敛，当p3时积分”公发散。(5)首先对任意的OV5<1与任意的p,有IimI1nXIq=O,即当X>O0+充分小时，有I1nMP<口；且IInR(1_p(x1-)。所以当p>-1时,积分J；I1nXIP公收敛，当p-1时，积分J；IIn%I。公发散。(6) xp1(1-x)q'-4(x0+),K(1-x)1-r-(x1-),所xi-pd尸以在p>O,q>O时积分J；XkI(I一)M公收敛，在其余情况下积分J：XpT(I-x)gdr发散。(7) XPT(I-X尸T1InXi(x1-),且(DFHmx2(P-