2023年三角函数的图象与性质知识点汇总.docx

三角函数的图象与性质一、知识网络三角函数的图象和性质三角函数的图象三角函数的性质正弦型函数图象基本变换基本三角函数图冢定义域、值域五点法作图由图象写解析式引申：y=（而+协型函数奇偶性单调性周期性三、知识要点(一)三角函数的性质1) 定义域与值域A2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx.A(2)/(皈+0)型三角函数的奇偶性A(i)g(x)=皈+。)(xR)g(x)为偶函数Og(F)=g()wR)=RSin(而+=RSin(-皈+(XeK)QSiniaxcosp=O(x)COSo=O=0=化汗+一(ArwZ)由此得2；同理，g(x)=/sin(加+0X>wR)为奇函数=si0=O=0=r(wZ)(ii)W(X)=4cos(<m+eR)AA>)=4cosOr+G)为偶函数<>-kr(kZ).(x)=4cos(<zix+)<=><p=r+-(eZ)为奇函数23、周期性A(1)基本公式A(i)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为2tx周期为不的周期(ii)Jr(而+9)+上2y-4sin(皈+。)+匕y=4cos(0x+<+Ay=4tan(皈+kty=ACot(皈+如+上的周期为同©(2)认知(i)>z=(+(p)型函数的周期丁二如必(函+0)=4cos(叙+>)的周期为同；Iy=Mtan(皈+砌J=IjCot(加+到的周期为同(ii)y=/(皈+。)+张。0)的周期2y=Asin(x+)+k,y=Acos(0x+¢)+的周期为同；y=Mtan(以+0+Mj=|力的(姓+为+用的周期为同.a均同它们不加绝对值时的周期相同，即对尸产(皈+上的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一i)的区别(ii)若函数为了(加+型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.A(Hi)探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是实验一一猜想一一证明.A(3)特殊情形研究A(i)y=tan-cotx的最小正周期为2；(ii)y=bmx+k>s司的最小正周期为5111) )y=sin'X+c0s"x的最小正周期为2.由此领悟“最小公倍数法”的合用类型，以防施错对象.4、单调性A(1)基本三角函数的单调区间(族)依从三角函数图象识证“三部曲”：A选周期：在原点附近选取那个包含所有锐角，单调区间完整，并且最佳关于原点对称的一个周期；A写特解：在所选周期内写出函数的增区间(或减区间)；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族(或减区间族)A循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简朴三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.(2)y=皈+。)型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为A换元、分解:令U=0X+°,将所给函数分解为内、外两层：y=f(u),u=0x+/；A套用公式:根据对复合函数单调性的认知，拟定出f(U)的单调性，而后运用(1)中公式写出关于u的不等式；A还原、结论：将u=°x+°代入中U的不等式,解出X的取值范围，并用集合或区间形成结论.A(二)三角函数的图象A1、对称轴与对称中心x=k+f)(1)基本三角函数图象的对称性A(i)正弦曲线y=SinX的对称轴为正弦曲线y=sinx的对称中心为(上汗,0)(KCZ)(H)余弦曲线y=c0sX的对称轴为上"Z).余弦曲线y=cosx的对(+-,O)(Z)称中心2俘(一Z)(iii)正切曲线y=tanX的对称中心为2；正切曲线y=tanx无对称轴.a认知：两弦函数的共性：x=4为两弦函数f(X)对称轴=/(为最大值或最小值；(,0)为两弦函数f（x）对称中心=/（4）=o.正切函数的个性:A（4,0）为正切函数f（x）的对称中心=/（2）=0或/（4）不存在.（2）皈+同型三角函数的对称性（服从上述认知）A（i）对于g（X）=sin（皈+或g（*）=t4cos（<m+<的图象=4为g（X）对称轴=g（4）为最值（最大值或最小值）；（,0）为两弦函数g（）对称中心=g（4）=0.a（ii）对于g（）=Rtan（0x+0）的图象（4,0）为两弦函数g（）的对称中心=g（4）=0或g.）不存在.2 基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3 、丫=sin（皈+0）的图象A（1）五点作图法（2）对于A,T,。，的认知与寻求：A:图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；2:图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.TT方：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；4:图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.20：由T=同得出.。：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与X轴交点坐标代入函数式求。，则须注意检查，以防所得*值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）_2sinxcos-=<1<=>-27+3到这里XR,Is3>+0)1-.W+3=4/<y2+3=/1所求函数的值域为(3)这里.V=16-12(sinx+c°sx)+9sinxc°sx令SinX+cosx=t则有t=&sin(x+-)#tH-0,2且由4x(2)四、经典例题4例1、求下列函数的值域：1(A)7-1+snx_3cosx2+snX(3)=(4-3sinx)(4-3cosx)(4) T=卜山'+k°sx(5)Iy=卜山x+siM(6)y=卜山H+k°sx+si42分析：对于形如(1)(2)(3)的函数求值域，基本策略是(i)化归为sin(皈+同的值域；(ii)转化为Sinx(或cosx)的二次函数；对于(4)(5)(6)之类具有绝对值的函数求值域，基本策略则是(i)在适当的条件下考察y2;(ii)转化为分段函数来解决；(iii)运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.a解：2sinXCOs2x2sinx(1-sin2x)y=y=-(1) 1+sinX1+sinX<>,y=2sinx(1-sinx)(sinx-1)A=P2(SinX-万)+(sinx-1)-1<sinx1,.0<(sinx-)2<-4vy124A.2,即所求函数的值域为yw(T5cosx=-2by3cOSXzby=由；sinX-2+sinX1sin(X+/=-J<>-1iy11/2sinXcosx=一«-1)2.犷而Sino+)=-2y(其中0为辅助角)A.犷+3注意=16-12+-(2-1)(-2Z2)于是有2=V=。一孑+.(一尤1应)-2t,:.0-(t-)2<17+122232a231<y<-+2y2221+122因此，所求函数的值域为22.(4)注意到这里y>o,且丁=1+懒2司sn2x1,.1J,2.1y即所求函数的值域为口，a(5)注意到所给函数为偶函数，又当XNO时，y=sinx+sinx此时2同理，当x0时，亦有°WyW2.所求函数的值域为0,2.TF(6)令/S)=smx+IcosH+sm42x则易见f(X)为偶函数，且“X+5)-(X)在一个周期上的取值范围.又注意到TT/(-)=.2是f(x)的一个正周期.只需求出f当X£0,5时，/O)=SinX+cosx+si42Ax-4为f(X)图象的一条对称轴上的最大值.sin42x=(sin2x)4亦；只需求出f()在0,4SinX+cosX=应Sin(X+当而在0,4上，4递增.递增(3X，由得f()在o,彳上单调递增./(0)W<()A于是由、得所求函数的值域为U+/A点评：解(1)(2)运用的是基本化归方法；解(3)运用的是求解关于sinx+cosx与SinXCOSX的函数值域的特定方法；解(4)借助平方转化；解(5)(6)则是运用函数性质化繁为简，化暗为明.这点在解(6)时表现得淋漓尽致.A例2、求下列函数的周期：1(a)y=2s2+4snxcosx+3cos2；(2)4Oy=sinX+cosxTrIy=Sin(一一2x)+sin2x,小(3) 6；(4)y=snx+2bnH：(5)=smxcosxa分析：与求值域的情形相似,求三角函数的周期，首选是将所给函数化为sin(皈+©)+k的形式,而后运用已知公式.对于具有绝对值的三角函数,在不能运用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来解决.A解：(2sin2x+-icos2x)+y=(1-cos2x)+2sin2x+3(+c°s225sm(2x+)+-(其中辅助角=arctan-)24_2J-cos2xs21+cos2xT=y=(A+所求最小正周期2(2)2212o,-,-cos2x+-441+cos4x-2-cos4x+-88所求周期7=5sin2x-sin(2x)j(3)6sin2x-(sin2xcoscos2xsin)66sin2x+-cos2x2"幺sin(2x+河,其中论辅助角'R一晚sin(2x+O)的最小正周期为开，2.注意到2故所求函数的周期为5(4)3sinx,y=<-snx,sinx>O;sinx<0.注意到3sinx及-Sinx的周期为2k，又sinX20(或Sinx<O)的解区间反复出现的最小正周期为2万所求函数的周期为25)Sinxcosx,y=,-Sinxcosx,sinx>0;sinX<0.sin2x,SinXN0;-sin2x,sinx<0.2注意到Sin2x的最小正周期3=汗，又sinx20(或SinX<0)的解区间反复出现的最小正周期四=2汗，这里看花的最小公倍数为2开.所求函数的周期T=2".a点评J对于，令f(x)=Mnxcosx,则由“x+2幻=(x)知,2不是f()的一个正周期.4又.万不是f()的最小正周f(x+)=sin(x+)cos(x+T1)=-sinxcosxf(x)期.A于是由知，f(X)的最小正周期为2k.a在一