2023年三角函数知识点汇总.docx

1三角函数的概念【知识网络】【考点梳理】考点一、角的概念与推广1任意角的概念:正角、负角、零角2.象限角与轴线角：与终边相同的角的集合：4|4=2Qr+a,ZZ第一象眼角的集合：2Qr<<+2E,ZZ第二象限角的集合：+2女乃v<)+2Z肛女Z第三象眼角的集合：+2k<<卷+2k小kGZ笫四象眼角的集合：/|昔+2%乃<尸<2乃+2左乃次Z终边在X轴上的角的集合：=k,keZ终边在y轴上的角的集合：=Z)+X,ZZ终边在坐标轴上的角的集合：=G1MZ要点诠释：要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一的,终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.考点二、弧度制1 .弧长公式与扇形面积公式：弧长=a”,扇形面积S扇形=g>=gTa1（其中一是圆的半径，。是弧所对圆心角的弧度数）.2 .角度制与弧度制的换算：180'=乃；=-rad0.01745rad；rad=（）057.300=5718'180要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1 .定义：在角上的终边上任取一点P（X,y）,记.=0P1=M+y?,1.VXyXrr则S1na=工，cosa=,tana=,cotcr=,seca=,esca=rrxyxy2 .三角函数线：如图,单位圆中的有向线段MQM,AT分别叫做的正弦线,余弦线,正切线.3 .三角函数的定义域：y=sina,y=cos=的定义域是aR；y=tan,y=seca的定义域是gIa&乃+,左WZ;y=cot,y=csc的定义域是。左1,&Z.4 .三角函数值在各个象限内的符号：考点四、同角三角函数间的基本关系式1. 平方关系：sin2+cos2a=1;sec2a=1+tan2a;csc2a=1+cot2a.C+3sinacosa2. 商数关系：tana=;cota=.cosasina3. 倒数关系：tanacota=1;sinaesca=1;cosaseca=1要点诠释：同角三角函数的基本关系重要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.三角变换中要注意“1”的妙用,解决某些问题若用“1”代换,如I=Sin2ct+cos2,I=SeC2a-tai?=tan45=，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1 .2k+a(kZ)y一,九±,2万一。的三角函数值等于。的同名三角函数值，前面加上一个把当作锐角时原函数值所在象限的符号.2 .-±,竺±的三角函数值等于。的互余函数值，前面加上一个把当作锐角时原函数值所22在象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用重要是将三角函数值转化为0'90角的三角函数值，本节公式较多，要对的理解和记忆，诱导公式可以用“奇变偶不变，符号看象限(奇、偶指的是王的奇数倍、偶数倍)”这个口诀进行2记忆.同角三角函数基本关系式和诱导公式【知识网络】【考点梳理】考点一、同角三角函数基本关系式1平方关系:sin?+cos?=1;sec2a=1+tan2a;csc2a=1+cot2a.“如乂hsina3 .商数关系：tana=cosacota=sinacosa4 .倒数关系：tanacota=1;sinaesca=1;cosaseca=1要点诠释:同角三角函数的基本关系重要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换,如I=Sin20t+cos2,I=SeC2-ta=tan45=，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的运用.考点二、诱导公式sin(乃+)=-sin1,sin(-a)=-sina,sin(乃一)=sin0,COS(乃+)=-cos,cos(-0)=cos,cos(万一0)=-cos,tan(r+)=tana.tan(-)=-tana.tan(-)=tan2.,7t.,Tt.3冗sm(y-a)=cos<z,sm(,+2)=cos,sm(、./3乃、-a)=-cosQf,sm(+a)=-cosa,K冗3乃cos(a)=sina.cos(-+a)=-sina.cos(222、.3兀、.)=-sma.cos(-+a)=sn<z.要点诠释：（1）两类诱导公式的记忆,经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇变”是指所涉及的轴上角为工的奇数倍时（涉及4组：-±a,江±2）函数名称变为本来函数的222余函数;其重要功能在于改变函数名称.“偶不变”是指所涉及的轴上角为二的偶数倍时（涉及5组：2k冗+a、-a,±a,2-a）,函数名2称不变,其重要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.（2）诱导公式的引申：Sin（A乃+）=（-1）sin,CoS（A乃+a）=（-1/cos,tan（Z;T+a）=tana.（kZ）3正弦、余弦的图象和性质【考点梳理】考点一、“五点法”作图在拟定正弦函数y=sinx在0,24上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(O,O),(g/)，(肛0),(若，-1),(2乃,0)22考点二、三角函数的图象和性质名称y=sinxy=Cosxy=Ionx定义域XeRxRk+-,kZ2值域-1J-1,1(o,+oo)图i027i1、TIz;X4IWJ;象72靠.7-1奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调增区间：r2,kr,2k4H(Z)22单调减区间：2k+-i2k+-22Z)单调增区间：2k-,2k(keZ)单调减区间：(kZ)2k,2k+(Z)单调增区间：(Z乃一g,%+g)(22&Z)周期性T=2T=2T=对称性对称中心：OU,0),2Z对称轴：X=k+-,kZ2对称(k4,O),2中心:Z对称中心：(,0),Z2对称轴：x=k、ksZ对称轴:无最值_TT.x=2k-,kz2时，二1；_f3.X=2+,kZ2吐Nmin=Tx=2k,kz时,%ax=1；x=2k+,kZ时,>min=T无要点诠释:三角函数性质涉及定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来,再运用性质巩固图象.三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域.研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度结识,注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.考点三、周期一般地，对于函数/（%）,假如存在一个不为O的常数7,使得当X取定义域内的每一个值时，都有+）寸（X）,那么函数/co就叫做周期函数，非零常数丁叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.要点诠释：应掌握一些简朴函数的周期：24函数y=Asnx+）或y=AeoS（5+°）的周期丁=1r;M函数>=卜皿厘的周期丁二%；函数y=Atan(G)Ji+°)的周期7=XH函数y=tan乂的周期T=万.三角函数的性质及其应用【考点梳理】考点一、函数y=Asin(<x+o)(A>0,。>0)的图象的作法1 .五点作图法：作y=Asin(5+e)的简图时，经常用五点法，五点的取法是设，=GX+夕，由/取0、p万、3小、2乃来求相应的X值及相应的y值,再描点作图。2 .图象变换法：(1)振幅变换：把y=sinx的图象上各点的纵坐标伸长(AX)或缩短(0VA<1)到本来的A倍(横坐标不变)，得到V=Asinx的图象；(2)相位变换：把y=Asinx的图象上所有点向左(q>0)或向右(夕<0)平行移动I个单位，得到y=Asin(R+°)的图象；(3)周期变换：把y=Asin(x+0)的图象上各点的横坐标缩短(3>1)或伸长(o<3V1)到本来的,倍(纵坐标不变)，可得到y=Asin(g+e)的图象.(4)若要作y=Asin(x+°)+Z?,可将y=Asin(x+°)的图象向上S>0)或向下S<0)平移同个单位，可得到y=Asin(x+e)+力的图象.记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(AX)横缩(3>1)”。要点诠释：由y=sinx的图象运用图象变换作函数y=Asin(3x+e)的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿X轴的伸缩量有区别.考点二、y=AsE(g+0)的解析式1.y=sin(<x+)的解析式2y=4sin(5+e)(A>0,0>0),x0,+)表达一个振动量时，A叫做振幅，T二叫做周期，/='二卫叫做频率，的+e叫做相位，X=O时的相位。称为初相.Tf12.根据图象求V=ASin(犹+夕)的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(-？,().2万求解环节是先由图象求出A与T,再由G=T算出3,然后将第一零点代入8+°=0求出°.要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算.考点三、函数y=Asin(<w+0)(A>0,0>0)的性质1 .定义域：xR,值域：y-A,A.22 .周期性：T=TT3 .奇偶性：9=&乃十万时为偶函数；°=%;T时为奇函数，kwZ._.71_.712k2H4 .单调性:单调增区间：2,2一，ZeZ_,7V_.1>72+2k单调减区间：Z,2,kZ.KTT4(P5 .对称性：对称中心(0，O),keZ；对称轴X=Z，kZ冗2k+OA6 .最值：当的+9=2匕r+即X=时，y取最大值A2c/2k-当x+=2k即X=时，y取最小值-A.(AZ).2要点诠释：求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为y=Asin(8+0),要特别注意A、。的正负，再把5+。看作一个整体,并结合基本三角函数的图象和性质解出即可;运用单调