2023年三角函数知识点归纳自组.docx

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角舀数1.任意角角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、辿正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角.角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称。为第几象限角.第一象限角的集合为h360<<36O+9（Mz第二象限角的集合为h360+90<A360+180,AZ第三象限角的集合为h360+180VaVh360+270,&wZ第四象限角的集合为h360+270v<h360+360',kwZ终边在X轴上的角的集合为ak=A180McZ终边在y轴上的角的集合为a=k180+90,kz终边在坐标轴上的角的集合为aa=k90,kwz）（2）终边与角。相同的角可写成+k360。（&Z）.终边与角相同的角的集合为伊忸=-360+,Zz弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度制与角度制的换算公式:360°=室弧度；180°=立弧度.F二三弧度，1=（竺°57.3=57度18分。180）半径为r的圆的圆心角。所对弧的长为/,则角的弧度数的绝对值是闷=，若扇形的圆心角为（为弧度制），半径为，弧长为/,周长为C,面积为S,则=r（弧长公式），C=2+/（周长公式），S=g>=JaY.（面积公式）2 .任意角的三角函数定义设是一个任意角,角的终边上任意一点PaJ）,它与原点的距离为丁卜=Jd+,2>那么角。的正弦、余弦、正切分别是:Sina=f(y,r),cos=错误!,1anQ1错误!.(三角函数值在各象限的符号规律概括为：一正、二正弦、三正切、四余弦)三角函数线：Sina=MP,CoSa=OM,tana=AT.3 .特殊角的三角函数值030456090120135150180270360角a的弧度064口/3/2233Ji/456322sina01/2223213/2221/20-10cosa1322/21/20-1/2-22-32-101tana0J3/313-3-1-330X0二，同角三角曲教的基本关余与诱导公式及三角恒等变换A.基础梳理1 .同角三角函数的基本关系(I)平方关系:Sincos2=1;(在运用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号)(2)商数关系：f(since,cos)=tana.(3)倒数关系：tanCTCOta=12 .诱导公式公式一:sin(+2A)=sina,cos(÷2E)=COSa,tan(cr+2k)=tana其中左Z.公式二：Sin(÷)=sincos(÷ct)="cosct>tan(÷)=tana.公式三:sin(-)=sin,cos(-)=-coSa,tan(乃一2)=-tana公式四:Sin(a)=sinct>cos(-a=cosct>tan(-a)=tana.公式五：sin错误!=cos,.co、错误!=sina.公式六：Sin错误！=COSa,COS错误！=-sina.诱导公式可概括为人错误!±的各三角函数值的化简公式.口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中的奇、偶是指错误!的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)：若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把aW作钿由时，根据Af(口，2)±在哪个象限判断原士扁函数值的符号,最后作为结果符号.B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变,符号看象限.2、四种方法在求值与化简时，常用方法有:(1)弦切互化法:重要运用公式tan4二错误!化成正、余弦.(2)和积转换法；运用(SinCOs。)一二1±2SinoCQS，的关系进行变形、一转化,(Sina+cosa、Sina-COSa、SinaCOSa三个式子知一可求二)JT(3)巧用“1”的变换：I=Si+cos2e=sir-=tanf(,4)(4)齐次式化切法:已知tana=攵,则asina+Z?CoSasina+ncosaatana+htntanor+ak+btnk+n3、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：(I)CoS(+夕)=CoSaCOS夕一SinaSin夕;CoS(一夕)=coSaeoS尸+sinasin/；sin(+y?)=Sinacos+cosaa;(4)sin(a-)sinacos-cosasin；tan(+=；+f=(tana+tan/=tan(+夕)(1-tanatan/?);,ctaner-tan/7(6)tan(-/7)=-=1+tanatany9(tan-tan/?=tan(一4)(1+tanatan/7).如tan20"+tan40"+5tan20tan40"=;(答案:3)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin2a=2sinacosa.=>1±sin2a=sin26z+cos2a±2sincrcos=(siner±cosa)2如cos2f(5,12)+cos2错误！+cos错误！cos错误！的值等于(答案：f(5,4)(2)cos2a=cos2a-sin2=2cos2-1=1-2sin2a=升幕公式1+cos2a=2cos2,1-cos2=2sin2an降幕公式COS2a1+cos2a2sin2a=1-cos2a2tan2=2>1-tana3、二弦归一二把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：sinO+Z?COSO=7?7Pin(O+e),其中btan=.a(第二种说法引入辅助角。as/78+6cos6=s，/7(8+°),这里辅助角。所在象限由石、b的符号拟定，°角的值由ta"e=2拟定。)a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,灵活运用三角公式,掌握运算化简的方法.常用的方法技巧如下：角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角,可根据角与角之间的和差，倍半，互补,互余的关系,寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解,对角的变形如：CfC1C12是。的二倍;M是20的二倍;。是上的二倍;上是上的二倍；224TFTT15"=450-30"=60"-45"问：sin=;cos=；1212=(a+)-+a=-(-)；(§)2=(a÷÷(-=(+a)-(-a)；等等.42444如11tan(+/7)=-,tanf1=,则tan(=.(答案：)514J4I4j22若cos(a+$)J错误！,cos®一4)=一错误！，且错误!.错误！Va+V2无，则cos2a=,cos2=(答案：-错误!,-1)3已知煞;=则tan(-2a)=；(答案:，)(2)函数名称变换:三角变形中，经常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦,变异名为同名(二弦归一)。如sin50(1+3tanI(T)=:解析:原式=sin50"COS1(T3sinIOrtcos1O,+Cos1Ou=Sin50"2-cosW+sin10"(22CoSKr2sin(30"+10”)=Sin50”1cos1Op2sin40"cos40"sin80"cos1O,"cos107(3)常数代换:在三角函数运算,求值，证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变形有:1=sin2a+cos2=sin90"=tan45。(4)赛的变换:降幕是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降累解决的方法。常用降哥公式有:；o有时需要升事，常用升累公式有：:.如对无理式J1+cosa常用升幕化为有理式.(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应纯熟掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。如：cosacos?-sinarsin-；sinacos+cosasin-；tana+tan?=；1-tanatan-；tancr-tan/7=;1+tanatan=；SInaCoSa=；2sm-cos=；22cos2a-sin2a=；2cos2a-；2sin2a-1=；1+COSa=;1-COSa=;2tana=；1-tan2=；sin6+Z?CoS=;(其中tan°=；)(6)三角函数式的化简运算基本规则:复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特殊值与特殊角的三角函数互化。三、三角舀数的图像与性质学习目的：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期：定义法，公式法,图像法(如丁=MnAI与y=cosx的周期是;r)。3会判断三角函数奇偶性4会求三角函数单调区间5知道三角函数图像的对称中心,对称轴6知道y=Asin(or+0),y=Acos(or+e),y=Atan(0x+0)的简朴性质(一)知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数y=sinx和余弦函数y=8sx图象的作图方法:五点法：先取横坐标分别为0,工,4,四,2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。22y=cosx2、正弦函数V=SinX(XH)、余弦函数y=cosx(xR)的性质：(1)定义域:都是R。(2)值域：都是-1,1,jrrC对y=sinx,当X=2&乃+万(左Z)时,y取最大值1;当x=；(AWZ)时，y取最小值一1；对y=8sx,当=2%4(%2)时，y取最大值1,当x=2匕r+笈(%Z)时,y取最小值一1。(3)周期性：y=sinx,y=cosx的最小正周期都是2万；(4)奇偶性与对称性：正弦函数y=sinxxR)是奇函数,对称中心是(左；r,)(ZZ),对称轴是直线x=hr+(ZZ);余弦函数y=cos(xR)是偶函数，对称中心是(女乃+卫,。(左Z),对称轴是直线X=ZTr(ZZ);(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于X轴的直线,对称中心为图象与X轴的交点)。(5)单调性：y=sinx½-+2,2k(ZeZ)上单调递增，在2%肛斗+2左1(ZeZ)单调递减；丁=以均在一乃+2%万,2%乃(2£2)上单调递增,在2攵乃,2攵乃+%(攵2)上单调递减。特别提醒.别忘了2Z!3、正切函数y=tanX的图象和性质：JT定义域:X