2023年三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结.docx

变式精练1：如图两个等边三角形A48O与MCE,连结AE与CD,证明(1)ABE=ADBC(2) AE=DC(3) AE与。C之间的夹角为60'(4) AE与OC的交点设为H,平分NAHC变式精练2:如图两个等边三角形AABD与BCE,连结AE与CD,证明(1)AABE=ADBc,H(2) AE=DCa(3) AE与Z)C之间的夹角为60°(4) AE与OC的交点设为H,8“平分NA"C例2：如图,两个正方形ABC。与。EFG,连结C£AG,CE,两者相交于点”问:(1)AADG二ACDE是否成立？1K(2) AG是否与CE相等?(3) AG与CE之间的夹角为多少度?(4) HD是否平分NAHE?例3：如图两个等腰直角三角形AOC与EDG,连结AGCE,两者相交于点H问：(1)A3G岂ACDE是否成立？HG(2) AG是否与CE相等？(3) AG与CE之间的夹角为多少度？a(4)HZ)是否平分NA"E?E例4：两个等腰三角形AAB。与ABCE,其中AB=BD,CB=EB,ZABD=/CBE=a,连结4E与CQ,问：(1)A5E=ADBC是否成立？P(2)AE是否与CQ相等？(3)AE与CO之间的夹角为多少度？E(4)HB是否平分NAHC?B二、倍长与中点有关的线段倍长中线类b考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达成将条件进行转化的目的。J1已知：ABC中，AM是中线.求证：A<-(AB+AC).2ABM【练1】在443C中，A4=5,AC=9,则BC边上的中线A。的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在A3C的4?边上取两点E、F,使AE=8/，连接CE、CF,求证：AC+3C>EC+FC.AEFB【例2】如图,己知在ABC中，AD是8C边上的中线,E是Ao上一点,延长班:交AC于F,AF=EF,求证：AC=BE.A【练1】如图，已知在ABC中，A。是5C边上的中线，E是AO上一点，且8E=AC,延长BE交AC于广，求证：AF=EFC【练2】如图,在ABC中,AO交BC于点。，点E是BC中点,所AD交CA的延长线于点、F,交AB于点、G,若BG=Cr,求证:Ao为ABC的角平分线.【练3】如图所示，已知ABC中，AO平分ZBAC,E、尸分别在8。、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：EF/AB【例3】已知AM为ABC的中线,/AA空，NAMC的平分线分别交AB于E、交AC于A求证：BE+CF>EF.【练1】在RtAABC中，F是斜边AB的中点，O、E分别在边C4、CB上，满足ZD在=90。.若A£>=3,破=4,则线段OE的长度为.【练2】在ABC中,点。为8C的中点，点、M、N分别为AB、AC上的点，旦MD_1ND.(1)若NA=90。，以线段8W、MN、CN为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？(2)假如BM2+CN2=DM2+ON2,求证AD2=(A2+AC2).【例4】如图所示，在ABC中，A5=AC,延长AB到。，使5D=AB,石为AB的中点,连接CE、CD,求证CD=2EC.【练1】已知AABC中,48=4。,8。为钻的延长线,且3。二,。石为&45。的45边上的中线.求证：CD=ICE全等之截长补短:人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1 .如图所示，A3C中，NC=90°,NB=45°,AD平分NBAC交BC于Do求证：AB=AC+CDo如图所示，在AABC中,N8=60°,A3C的角平分线AD、CE相交于点0。求证:AE+2 .如图所示，已知N1=N2,P为BN上一点，且尸。J.BC于D,AB+BC=2BD,求证:ZBAP+NBCP=1800o3 .如图所示,在RzMBC中，AB=AC,NBAC=90°,NABD=NCBO,CE垂直于BD的延长线于E。求证:BD=2CE。5如图所示，在AABC中，ZABC=90o,AD为NAAC的平分线，ZC=30°,3E_14。于E点,求证：AC-AB=2BEo6 .如图所示,已知AB/CD,NA3C,NBC。的平分线恰好交于AD上一点E,求证:BC=AB+CD。7 .如图,E是NAOB的平分线上一点，EC-1OA,EE>_103,垂足为C、D0求证:(1)OC=OD；BA(2)DF=CFo三、截长补短问题h垂直平分线（性质）定理是.问题2:角平分线（性质定理是问题3等腰三角形的两个底角，简称_；假如一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也_，简称.问题4:当见到线段的_考虑截长补短,构造全等或等腰转移一、转移然后和重新组合解决问题.三角形全等之徒长补短（一）一、单选题供4道，每道25分）1.已知.如图，BM平分NABC,P为BM上一点，PD_1BC于点D,BD=AB+CD.球证：NBAP+NBCP=18O°.（俄长法）证明I如图，在BC上散取BE=R九连接尸E在AdBP和38尸中AB=EBZ1=Z2BP=BP：4BP4EBP(SAS)号所代表的内容:J请你仔细观测下列序平分乙4BC'N1=N2；.1=2;/A=ZBEP；AP=PE,BD=AB+CD,N3=ZPCD'：BD=AB+CD.BD=BS+SDVZ55P+Z3=180°：.BS+ED=ABCD;：.BD=AB+CD.ZBAP+Z3=30Q.tZ3=ZPCDVZB5P+Z3=180o：ZBAP-BCP=180°.以上空缺处依次所填最恰当的是（）,A.©<3)B.C.®®®)D.J2.已知,如图，BM平分ZABC,点P为BM上一点，PD±BC于点D,BD=AB+DC.,求证：ZBAP+ZBCP二BP平分45C/.Z1=Z2在1BEP和ABDP中BE=BDNI=N2BP=BP:BE啥Abdp(sas)=180.j测下列序号所代表的内容:在ZEA和尸。C中PE=PD乙PEA=UDCAE=CD,PE盘PZ>C(SAS)/.NC=NAE"Z.BAP-Z1PAE=XZdiiZ5JP-Z5CP=1SOe给你仔细观延长BA,过点P作PE±BA于点E：延长BA到E,使AE=DC,连接PE;,：BD=BA+CD二BD=BA+CD延长BA到E,使Dc=ae：*BD-BA÷AE=BE；：.BE)=BEPE=PDiZPEa=ZPDB：,PE=PDfZPEA=ZPDB,JPD1BC'：PDA.BC"PDB=90o"PDB=ZPDC=90°/.ZPDC=90°:&EA=90°通:"FEA=90°N尸"=ZPDC以上空缺处依次所填最恰当的是（）jA.®B.(D(§X§)£.®D.33.已知,如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,AD平分NCDE,NBAE=2NCAD,求证:BC+DE=CD.，)平分NCZ)EZ1=Z2在AdFD和ZkdED中ADADNI=N2DFDB：.ZFDg4i£D(SAS)请你仔细观测卜.列序号所代表的内容:在CD上截取CF=CB,连接AF：在DC上截取DF=DE,连接AF：嫁在DC上截取DF=DE:AE=AF:AF=AE,N4,AB=AF'：BAE=2CADVZCAD=Z3+Z6/3；/4=/3；N5=N6:'JAB=AE'JAB=AE.AB=AF.AB=AF'ZBAE=2CADZCAD=Z3+Z,Z4=Z3ZQ4D=Z3+Z6即N4+Z5=Z3+Z即N4+Z5=Z3+Z6.N5=N6:.N5=N6以上空缺处依次所填最恰当的是()JA.B.C.D.(勘j4.已知，如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,NBAE=2NCAD,NABC+NAED=I80。，求证:BC+DE=CD.在躇C<OAJ)中(AS=A£Z5C-Z1Bc.A43aZUF(SAS)SCWft,W中iACAP4(M>w4DADAD，V/0(SAS)Wi1f你仔细观测下列序号所代表的内容:力延长，ACiFDE到F,使EF=BC,连接AF：延长DE到F,使BC=EF;,：AABC+AED=80oZ1+ZD=180o延长DE到F,连接AF;N力BC=N1,:乙BAE=Z1CAD"CAD=Z2+Z4,ZCAD=Z2+Z4=N3+N4=Z3+Z4AABC=N1即Ne/4Z)=FADi.ZCD=AFAD/.CD=DF：DF=DE+EFJCD=DF'JEF=BC'：DF=DE+EF：.EF=DE+BCDE+BC(：,BC+DE=CDBC+DE=CD.以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.(DtSXgXg)C.D.颔)®四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候,我们应当想到旋转?（构造旋转的条件）问题二：旋转都有哪些模型？【例11如图，P是正aXBC内的一点,若将尸C绕点B旋转到aPBA,则NPB产的度数是B.60oD.120°（）A.45oC.90o【例2】如图,正方形6/FE与正方形ACGZ）共点于A,连接BD.CA求证=C尸并求出NOOH的度数。【例3】如图,正方形ABCO中,N以。=N尸4E。求证：BE+DF=AEo&1.题干中出现对图形的旋转现成的全等2 .图形中隐藏着旋转位置关系的全等形找到并运用3 .题干中没提到旋转,图形中也没有旋转关系存在通过作辅助线构造旋转!【例4】已知:如图:正方形HBC。中,NMAN=45°,/MAN的两边分别交C8、OC于点”、M求证：BM+DN=MN.【例5】如图,正方形/3CO中，NEA尸=45。,连接对角线6交AE于M,交A尸于N,证明：DN2+BM?=MN'【例6】如图，已知4048和AOCO是等边三角形,连结为C和8。，相交于点RAC和80交于点F,连结8C。求NAE6的大小。【例7】如图所示：工3C中,NHCB=90。，AC=BC,P是4A8C内的一点，且AP=3,CP=2,BP=1,求NBPC的度数。B本课总结问题一:题中出现什么的时候，我们应当想到旋转？（构造旋转的条件）1 .图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形）2 .这些相等的边中存在共端点。3 .假如旋转（将一条