第二章 微专题一.docx

微专题一多元变量的最值问题经验分享在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手.对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题.因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法.一、代入减元例1设X,yR÷,且2r+8y孙=0,求x+y的最小值.解由2x+8y一个=0得因为x,yR÷,所以x>8,所以2x2(-8)+1616x+yx+o-+o-%十2十oX8X8X8=。-8)+盘+10224。-8)盘+10=18,当且仅当工一8=占，即x=12时，取“=”号.所以，当K=I2,y=6时，x+y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可以得到F=芸，代入x+y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的.二、等量减元例2设正实数-y,Z满足3a，+4)，2z=0,则当郛得最大值时，§的最大值为()9A.0B.1C3D.3答案B解析由已知得Z=X23xy+4y2(*)则蓝=二衙短当且仅当x=2y时取等号，把尸2y代入(*)式，得Z=时工一32/2,所以g-1)+IW1点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元变量乂y,Z之间的关系，进而达到减元的目的.其实，由)变到2_3；+4；产已经应用IY到了代入消元，再由X2-3xyj+4>f2变到一仍然用到了整体消元的思想(把X当做整体),耳竺一3yrv91?19从而寻求到了二取最大值时变量X,y,z之间的关系.最后由：+；一；变到一1+；应用到了ZXy1yyX,y,Z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题.三、换元减元例3己知。s,与，不等式2sin比os0+sin+cos一?+120恒成立，求实数，的取值范围.解原问题等价于：当eo,时，不等式mW2sinOcos。+Sin0+cos6+1恒成立.令y=2sinJcose+sin。+CoSe+1,OW0,4,即求函数的最小值.令f=sincos，=啦Sin(J+§,因为,卦所以8+上?y,所以f1,2.又2sinGcos8=产一1,所以y=z2-1+f+1=r+)2-,当，=1(即6=0)时,/min=2.故mW2.点评此题中的sinaosaSin6»+COSe若不加处理难以将变量统一起来.但是，观察到SineCOSe与Sine+cos。的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的.四、整体减元例4已知函数U)=HnXv+(qRR)在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求。的取值范围；(2)设两个极值点分别为M,及，证明：x2>e2.解(1)0<a<,过程略.(2)由题设有/(X)=InXax,故由，及是方程InX0r=0的两根，即InX1=由，InX2=ax,不妨设X1>X2>0,则由以上两式分别相加和相减得：InaIX2)=(x+x2),Inm=(x-M).消去。得In(xiM)=；：又因为要证总位次2成立，故只需证1n(xM)>2,即只需证"FIn(9>2,Xj%22/即证嗯>2J即只需证EO>2=,五+1令r=告1，则上式为Inr>2yp.构造函数g()=1n2R(>1),则g'=:+*>0,所以函数g在(1,+8)上单调递增，所以g(f)>g(I)=0,即不等式1nz>2*成立.故即f2>e2.点评此题属于难题.由证明的结论可知，结论中没有参数,故首先需要先消掉参数口故由InX1=Or1,InM=OV2变形后再消去。，但是也不能就这两个式子简单地消掉。，只有这样才能有后面的将乎当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在.以上儿题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的.可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器.