大一下工数2exam_20102023_工数2期末_2016期末试题答案.docx
高等数学2016级下学期期末试卷A卷一、填空题(每题6分,共30分)1、(x-1)+2(y-2)+(z-1)=0Ex+2y+z=6,3、工'e'siny,fexcosy+exsiny(excosy+fi);4、5(1)=,S(IOO)=I;5、2,手)。二、单项选择题(每题4分,共20分)1、B；2、D；3、C；4、B；5、Ao三、(工科)求微分方程y-y'-2y=(1-2%)"的通解。解：特征方程产-2=0,特征根外=-1,G=2。齐次方程通解Y(x)=Ger+q/x,(4分)特解形式V(X)=xti,z,(x)=(0r+b)ex0(7分)将y”(x)代入原方程并整理得：-2ax+a-2h=-2x9«M=1h=0,a-2b=1所以y(X)=冗/，通解y()=G+C2e2x+xe2ro(10分)三、(高数)求过Z轴且与平面2x+y+3z=0垂直的平面方程。解：由题意，所求平面过原点0(0,0,0),且法向量垂直于向量(0,0,1),同理法向量垂直于向量(2,1,3),故:i,j,k=(),0,1=(-1,2,0)(7分)2,1,3故点法式平面方程：x-2y=Oo(10分)三、(微积分)求二重积分口。2+/)皿，其中D由=1,y=1和DX2+/=Iay0)围成的区域。解：设A=(x,y)d+y2<,yN0,(2分)(x2+y2)dxdy=(x2+Wy-(x2-y1)dxdyDD+D1(8分)(Io分)=H+V)少Ed可了"2四、用拉格朗日(1agrange)乘子法求函数/(x,y)=，+4xy+y?在单位圆/+V=1上的最大值和最小值。解：令(x,yt)=x2+4xy+y2+(x2+y2-1)o1x=2x+4y+2x=O由I1y=4x+2y+21y=0,得(5分)1a=x2+y2-1=0If72-=I%-WK-<、1212=xy11X1忑7)=y意=3,最大值；噜弓)="专超J，最小值。(1°分)五、将函数/(x)=arctan1H展为X的塞级数，并求收敛域。1-18解：fx)=-7=y(-1x2-1<x<1(2分)2""2+11+xMf(x)-/(0)=f,Md=0r(-Drt2nv=)晨2.=士)”=O=0wO(8分)001左端点无=-1时，级数为Z(T)”5币，由莱布尼兹判别法收敛。收敛域-1,1)。由于F(O)=工，所以:48丫2"+1口+铲)-IJ)O(10分)六、求曲面积分/二，必由也+(炉+川山力，其中Z：z=x2+y2(0z1),取,下侧。解：补有向曲面ZiZ=Z(X,y)=1(x2+y21),取上侧。(2分)由高斯公式，/+=zdV,C(5分)其中Jj1ZdV=J；ZdZdxdy=z2dz=-CDt:x2+y2(>f:)2。二而xzdydz+(x2+y3)dxdy=(x2+y3)dxdy=(x2+y3)dxdy,1i£Dx2+y2由对称性，得/dxdy=09Z)f+1由轮换对称性，得x2cbcdyPur2+y21M1(32K心故(10分)七、计算曲线积分J势二竽，其中1为从点A(1,1)沿直线到点B(T,0),再沿1+y曲线y=f_到点C(I,0)。解：P=7'°=XPQ_y,'1"-'+y2yx(x2+y2)2-X(2分)积分与路径无关，自选路径。令点力(-1,1),选从点4(1,1)沿水平线到点D(-1J)后,(4分)沿铅直线到点(-1,0),再沿下半单位圆到点C(1,0)。其中：AExdy-ydxy=r-«-dxX=XJI2+yI-ITt-arctanx1=92fEBxdy-ydxx=-dyy=y11+炉X+y-arctany'0TtFJBCxdy-ydxX22Jr+y=CoSrrO99(sint+cost)dt=o=SinfJF所以,(10分)rxdy-ydx11x+y244B卷一、填空题(每题6分,共30分)1、/J,etsiny,f'excosy+exsiny(excosy+ft);2、(X-I)+2(y-2)+(z-1)=0或x+2y+z=6,=?3、(2,3,1),-:4、2,半万；5、5(1)=,S(IOO)=Io二、单项选择题(每题4分,共20分)1、C；2、B；3、D；4、A；5、Bo三、(工科)求微分方程丁+了-2丁=(2戈+1)6一'的通解。解：特征方程/+2=0,特征根4=1,弓=-2。齐次方程通解Y(x)=G"+,(4分)特解形式y"(X)=XkQn().*=3+b)ex0(7分)2=2将y"(x)代入原方程并整理得：-2g:-一劝=2x+1JM=-I力=0,-a-2b=所以y"(x)=-xex,/.通解y(x)=c1ex+c2e2x-XeXo(10分)三、(高数)求过X轴且与平面2x+y+3z=0垂直的平面方程。解：由题意，所求平面过原点0(0,0,0)，且法向量垂直于向量(1,0,0)，同理法向量垂直于向量(2,1,3),故：i,j,kn=1,0,()=(0,-3,1)(7分)2,1,3故点法式平面方程：3y-z=0o(10分)三、(微积分)求二重积分(y2+x2)y,»其中D由X=I,y=1和x2+y2=(x,yO)围成的区域。（2分）解：D1=(x,y)x2+y21,x,yO>(y2+x2)dxdy=(y2+x2)dxdy-(y2+-2)dxdyDiD+D1=(y2+2),-dPdr(8分)（10分）23S四、用拉格朗日（1agrange）乘子法求函数/（x,y）=-4xy+y2在单位圆X2+y2=上的最大值和最小值。解：1(xyy,)=X2-4xy+y2+(x2+y2-1)01x=2x-4y+2x=O由=-4x+2y+2;1y=0,得(5分)1=x2+y2-1=0111xJyX1忑1,<1,1y=3J1正V忑zz,=3,最大值。（1°分）五、同A卷。六、求曲面积分/=,立（1）也+，+）,2）山"，其中Z：z=x2+y2（Oz1）,取下侧。解：补有向曲面Z：z=z（x9y）=1（x2+y21）,取上侧。（2分）由高斯公式，/+=JJJzdV,3（5分）i其中zdV=zdzdxdy=z1dz=-CD1zx2+y2(yfz)23,而xzdydz+(x3÷y2)dxdy=(x3+y2)dxdy=(x3+y2)dxdy,i由对称性，得xydxdy=O,Dvtx2+yi1由轮换对称性，得y2dxdy=-(x2+j2)dxdy=-Jdridr=,故/=巴。(10分)12七、同A卷。
