圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习.docx

圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习【题型一】判断横放竖放求参【典例分析】已知实数1m,9成等比数列，则圆锥曲线+V=的离心率为（）mA.好B.2C.诬或2D.正或右332【答案】C【分析】根据1，几9成等比数列求得m,再根据离心率计算公式即可求得结果.【解析】因为实数1，相，9成等比数列，故可得z=9,解得加=3或，=-3；当加=3时，二+V=1表示焦点在X轴上的椭圆，此时e=Q1-；=与；当m=-3时，fV=表示焦点在y轴上的双曲线，此时e=iT5=2.m故选：C.【经验总结】依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面：1、通过讨论，确定焦点在X轴还是在y轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。2、“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑【变式演练】1已知双曲线M:-二=1（>O）的离心率为2,则双曲线M的渐近线方程是（）a。+8A.y=±y3xB.y=±C.y=±3xD.y=±y2x【答案】A【分析】先由离心率的值求出。的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程【解析】因为双曲线的离心率为2,所以£±±3=4,解得。=4,所以双曲线方程为-21=1,a412*T"=°,得y=±6r,所以双曲线的渐近线方程为y=±1,故选：A2.已知曲线C：如2+3y2=的离心率e=#,则实数/值为()A.6B.-6【答案】D【分析】由曲线C32+3丫2=的离心率6=6>1,得出是双曲线，进而得出/=，/=_!_3m由离心率e5,即可得出答案.【解析】因为曲线Cg2+3/=1的离心率6=6>1,所以曲线Cmr2+3,2=为双曲线，即机<o,所以/=2，Z,2=-13m故选：D.6,解得，=-1所以离心率e=£=3.设6是椭圆/+度2=i(">o)的离心率，且ee(o)则实数，的取值范围是(A.B.C.(0,1)(1,2)D.【答案】B【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论./.-I【解析】当椭圆焦点在X轴上时，椭圆方程为了+工一Im,即41,解得2V当椭圆焦点在y轴上时，椭圆方程为了+=即m，故选：B.>1q'"1，解得:<m<1,EJ42【题型二】直接法【典例分析】椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为(【答案】B【分析】根据题意得+c=4,进而得5+20c-3/=0,即5/+2-3=0,再解方程即可得答案.【解析】解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为+c,椭圆的短轴长为3所以根据题意得a+c=»,所以两边平方得a2+c2+2ac=4a2-Ac2,即5c2+2ac-32=03等式两边同除以/得5+2e-3=0,解得C=或e=T（舍）3所以椭圆的离心率为故选：B【经验总结】直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率离心率的公式：椭圆e=g=J1-;双曲线e=：=J+,=F7讯k为横放渐近线斜率）=J+J（竖放）【变式演练】221.己知双曲线。:-=1（>0,6>0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为4,且焦距为ab"10,则C的离心率为（）B.-54A.一3【答案】C【分析】根据焦距可得C的值，根据右焦点到渐近线距离可求得b的值，由=产方可得。的值,再由e=£即可求解.a【解析】因为焦距为2c=10,所以。=5,右焦点（5,0）,a2+b2=25,双曲线U±r-4=1渐近线方程为：bx-ay=0,a-b-所以右焦点到它的一条渐近线的距离为"=J,="=力，>Ja2+b25所以b=4,=?=3,所以离心率C=?=,故选：C.2 .在平面直角坐标系X。），中，椭圆W+=（>力>0）上存在点P,使得IP耳=3IP周，其Crb中£、E分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（）【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用。表示出IPZ1和IPg1再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【解析】因点P在椭圆上,则I尸用+IP入I=2%又IM=3|明，于是得IPKI=I%IP尸2=%31而IP用-PK6=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时取“="，即-2c,解得e=-,UP<<1,a22所以，椭圆的离心率取值范围是故选：D3 .设双曲线氏二-与=1（>（U>0）的离心率为%直线/过点（OM和双曲线E的一个焦点，ab-若直线/与圆卜V=/相切，则/二（)A,三立B.GC.UD."3322【答案】D【分析】先求得直线/：-庆=0,由/与圆V+y2=/相切，利用圆心到直线的距离等于半径,35化简得出方程/一3/+/=0,结合离心率的定义，得至八/一5）2=,即可求解【解析】不妨设直线/右焦点小。），则直线/的方程为*“即-小。,由直线/与圆V+y2=/相切，且/=c2-4,O+O-bd可得V"整理得丘2=/（从+。2）即(c2-a2)c2=a1(2c1-a2),Wc4-3a2c2+4=0,J(-)4-3(-)2+1=O,即(/一与=：,aa24解得/=止叵或/=土二叵，因为e>1,可得/>,所以/=小叵故选：d222【题型三】补连另一焦点利用定义【典例分析】已知椭圆C：0+g=1(>方>O)的左，右焦点石,用，过原点的直线，与椭圆C相交于M,abN两点.其中M在第一象限MN=恒巴卜惊J弓，则椭圆。的离心率的取值范围为()A.(0,业二!B.(0,6-22C.(0,3-1D.(,3-1【答案】D【分析】：由题设易知四边形MENE为矩形，可得|“鸟2IMK1+2=0,结合已知条件有卜"华色电-1”即可求椭圆C的离心率的取值范围.=a2-2b2>0【解析】：由椭圆的对称性知：INKI=IM而M"+M=加，又IMM=恒闾，即四边形MZN6为矩形，所以IMK12+I"12=4c2,则2|MKFTa1MK1+4"=4c?且M在第一象限，整理得MF112-2aMF2+2b2=0f=a2-2b2>0所以IM居|=。-42_处2，又摆=条了*即>|延庄(6-1)，MF1MFi2a-MF23MF,=a-4a2-2b2(3-1)a小1、c21综上，、，整理得1e2=二4-21a2>2a2-2c22a2所以也<eJ-1.故选：D.2【经验总结】椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。【变式演练】1.椭圆C:。+营=1（>O>O）的左右焦点分别为耳、尸2,直线1y="与C交于a、8两点,若优O1=gA6,ZBAF2=O,当Oe时，C的离心率的最小值为（）A.2-1B.立C.述D.3-23【答案】D【分析】：结合题干条件得到KA_1F/,表达出04=2ccose,IEM=2csin6,利用椭圆定义得到关系，结合8的范围求出离心率的最小值.【解析】:连接明，由题知点48关于原点对称,*=%,I明=2|。玛=2c,F2A1F2B,则EH=21cosG,I取?=2csinJ,又|&4|+|玛目=|6A+忻A=2a,即1r-12cc°sO+2cSinemW=Sine1sJ&巾+；），由Tf得&sin（6+；）e号,0;T,所以emin=6-1D正确.Z设椭圆C*叱）的右焦点为F,椭圆。上的两点A,3关于原点对你，且满足产A8=0,忻MFN5F8,则椭圆C的离心率的取值范围为（）【答案】B【分析工设椭圆的左焦点广，由己知条件知四边形AEB广为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到+2=竺，再根据阀引网W万阿，得到巴的范围，然后利用对勾函数nmb的值域得到鸟的范围，然后由e=£一X求解.aaNa【解析】：如图所示：设椭圆的左焦点/，由椭圆的对称性可知，四边形AfB尸为平行四边形，又FAFB=。，即EAJ.阳，所以四边形"Bk为矩形，.AB=IfF1=2c,设IAFi=，A7=m,在直角1A尸中，m+n=2atw2+w2=4c2f得皿=切，所以+=与，令巴=t,得，+=岑,nH1bntb又I隅百IFB1,得:=fe1,G,所以f+He2，¥|,所以。,苧b3即”足吗，所以,卜.26所以椭圆C的离心率的取值范围为八号日,有-1,故选：B3.设椭圆U=+方=1的左焦点为尸，0为坐标原点.过点广且斜率为3的直线与C的一个交点为。（点。在X轴上方），且IoFI=IQ2|,则。的离心率为（A.BB.-C.D.正2333【答案】D【分析】:连接Q和右焦点F',可知IOQI=IFF-1,可得NFQF'=90。，由=W¼=-2，写出两直线方程，联立可得。点坐标，。点坐标代入椭圆标准方程可得。、氏C关系.【解析】：设椭圆右焦点为F，连接QF',VOF=O0,0F=0F'f：.OQ=FFfZFF,=90o,V=,¼=-2,尸。过F(-c,0),FQ过9(c,0),则股y=g(x+c),FQy=-2(x-c)t由、产与叶司nd王竺，y=-2(x-c)155J;°在椭圆上，(二)1(M)J又(?=/一62,解得与_=:，crb2.,离心率e=卜4=F1=4故选：d【题型四】余弦定理1:基础型【典例分析】已知双曲线：-方=1(。>02>0)的左、右焦点分别为F1,尸2,点A是双曲线渐近线上一点,且AK_1AO(其中。为坐标原点)，Az交双曲线于点8,且IABI=怛用，则双曲线的离心率为()A.返B.叵C.41D.344【答案】C【分析】：根据双曲线的定义和余弦定理建立关于。力，c的方程，从而可得双曲线的离心率.【解析】：根据双曲线的对称性，不妨设点A在第二象限，设6(f,0),因为J-A。，点K-bc到直线加:+4=0的距离d=/I,=b,Jb+a所以IAKI=A,因为MoI=C,所以CoSNA"O=B因为|阴=忸用，所以忸用二；|A"|=t，由双曲线的定义可知忸刈=86+2=2+g,在叫E中，由余弦定理可得I-4cI2a+_IcosZAO=-=-U，整理得力二a,所以c=1,即离心率e=*=.故CCCa2×-×2c2选：C.【经验总结】一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。【变式演练】1已知双曲线C：十方=1(a>0,0>0)的左、右焦点分别为尸-F2,点A在C的右支上，物与C交于点B,若用AEB=O,且归A1=归.，则C的离心率为()A.2B.3C.6D.7【答案】B【分析】：由题设知乙ABB为等腰直角三角形，即ZaA月=(、AB=42F2A=42F2B,结合双曲线