圆锥曲线.docx

专题圆锥曲线(一)曲线与方程知识要点和典型例题1 .曲线方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=O的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2 .求动点的轨迹方程的一般步骤：(1)建系建立适当的坐标系：(2)设点设轨迹上的任一点P(x,y);(3)列式一列出动点尸所满足的关系式；(4)代换依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为XJ的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.即：注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等.方法思统为求轨迹方程的四个方法1 .用直接法求轨迹方程，如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标,y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.【典例1】一条线段A8的长等于20,两个端点A和B分别在X轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程?【变式训练】动点P(xj)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即黑=2)，求动点P的轨迹方程？2 .待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。【典例2已知AABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin8+sinA=sinC,4求点C的轨迹.【变式训练】(1)已知圆C:+)2+6%-91=0及圆内一点P(3,0),则过点尸且与圆C内切的动圆圆心M的轨迹方程为(2)已知动圆P与圆C1(x+5)2+y2=9和圆C2i(x-5)2+=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.3 .代入法(相关点法):如果动点尸的运动是由另外某一点P，的运动引发的，而该点的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出PCr,y),用(x,y)表示出相关点尸的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程.【典例3】22P是椭圆1+?二=I上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M,则PM中点的轨迹中点的轨迹方95程为:CX2421B.1V=19522c192022X"yD.+=I365，2【变式训练】点B是椭圆上的动点,。)为定点，求麒中点M的轨迹方程.4 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求幽动点P运动的某个几何量人以此量作为参变数，分别建立P点坐标X,y与该参数，的函数关系X=/(八，y=g(Z),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0.【典例4】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线I2t若G交X轴于A点，/2交y轴于8点，求线段48的中点M的轨迹方程.【变式训练】过圆。：f+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹.高考零距离1.在平面直角坐标系xy中，直线/:%=-2交X轴于点4.设P是/上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足NMPo=NAOP.(1)当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程;43.如图，设P是圆f+y2=25上的动点，点。是尸在X轴上的投影，M为Po上一点，且IMoI=(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹。的方程;椭圆及其性质1.对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点K,6的距离的和等于常数2a当2问6鸟1时，动点P的轨迹是椭圆；当2折|681时，轨迹为线段"鸟；当2<6K时，轨迹不存在.【典例1】已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若F2A+F2B=i2,259则IABI=.2.椭圆的标准方程：(1)当已知椭圆的焦点在轴上时，其标准方程为1(。>历>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为斗+=1(>b>0).abV2V2(2)当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为一+=1(m>0,n>0,mn),这样可避mn免讨论和复杂的计算；也可设为A2+By2=1(A>0,B>0,A,B)这种形式,在解题时更简便.【典例2】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距禽分别为5、3,过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.3.椭圆的几何性质图形>'yB24,'y标准方程X2V2-+p-=1(0>>0)-r+=1(0>b>O)性质范围-aWxWa毡-bWxWb-aWWa对称性对称轴：坐标轴对称中心：界点.顶点A1(-f1,O)A2(*0)岛(0,1)B2(0，b)A1(0,-d)A2(1a)B1(-b,O)B1Qb,O)轴长轴H1<2的长为更短轴B向的防边图形/由，出KTX性质旧局W离潜Ce="Q£（。.1）a、b、c的关系a2b2c21从2%f2%f+272242-24.点与椭圆的位置关系的判定=1O点（X0,为）在椭圆上>1O点（%,%）在椭圆外.<1=点（Xo，%）在椭圆内.5 .直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程Fa=（a>b>O）与直线方程y=kx+b联立消去y,整理A?+Bx+C=。的形式，对此一元二次方程有：（1）/>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；（2） /=0,直线与椭圆相切，有一个公共点；（3） 1<0,直线与椭圆相离，无公共点.故直线与椭圆位置关系判断的步骤：第一步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：消元得出关于X（或y）的一元二次方程；第三步：当>（）时，直线与椭圆相交；当A=O时，直线与椭圆相切；当AVO时，直线与椭圆相离.6 .直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于A（国,凹）,8（%,外）两点，则IBI=5（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2【典例3已知椭圆：-+y2=t过左焦点F作倾斜角为工的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB的96长.方法总结1 .直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦瞬的巾点点【典例4】中心在原点，一个焦点为F1(O,50)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为求椭圆的方程.2 .求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、C的等式(或不等式)，利用笳=从+。2消去卜即可求得离心率或离心率的范围.或者是应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与久匕的关系：22j_2>2j/=二=2j=1-I=2=J77.(O<e<1)离心率越大椭圆越扁，离心率越小椭圆越圆，圆的离aCrcra心率为0.3.通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径的常为一.a椭圆练习221.椭圆J+1=1的焦点坐标为1625(A)(0,±3)(B)(±3,0)(C)(0,+5)(D)(±4,0)3 .化简方程J+(y+3>+>-3)2=0为不含根式的形式是r2v2r2v2V-2V2(A)+2-=1(B)+2-=1(C)+2-=125162591625(D)1y2十925=14 .已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且。=6的椭圆方程是r,(A)÷3620=1X2V2(B) +-=12036(C) +=1(D)16365 .若椭圆二+J=I上一点P到焦点E的距离等于6,则点尸到另一个焦点尸2的距离是10036(A)4(B)194(C)94(D)146 .已知F,F2是定点，IaBI=8,动点M满足IMF+MBI=8,则点M的轨迹是(A)椭圆(B)直线(C)圆(O)线段10.椭圆的两焦点为尸1(-4,0),尸2(4,0),点P在椭圆上，已知PQ尸2的面积的最大值为12,求此椭圆的方程.二、椭圆的性质1 .过点(3,2)且与椭圆4x2+9j2=36有相同焦点的椭圆的方程是+=1(B)f+=1(C)1015=1(D)2 .若椭圆2f-1y2=的一个焦点是(一2,0),则。=z、1-3z、-1±3i1-布/、-1-5(A)(B)-(C)(D)-44443 .若AABC顶点B,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),AeA4边上的中线长之和为30,则AABC的重心G的轨迹方程为2V2(A)F=1(y0)IOO36(B)F$y2_+=IOO84Ky)10084=I(X0)22(C)1=1(x0)100364.椭圆二一十二一二1的焦点坐标是m-2机+5(4)(±7,0)(B)(O,±7)(C)(±7,0)(D)(0,±7)5.过椭圆42+2y2=1的一个焦点Q的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形ABF2的周长是.X2V26.2为椭圆一+2-=1上的一点，B和尸2是其焦点，若NRPB=60。，则AHPB的面积为一.10064227.椭圆+2=1(e历>0)的半焦距为c,若直线产2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则椭圆的离心率ab“为.高考真题22q1F1,F2是椭圆E+=I(a>b>O)的左、右焦点，P为直线X=/上的一点，居PE是底角qZr2为30。的等腰三角形，则E的离心率为()1234(A)-(B)-(C)-(D)-23452 .在平面直角坐标系XOy中，椭圆C的中心为原点，焦点”，鸟在X轴上，离心率为乎，过F1的直线/与C交于A,8两点，且AAB鸟的周长为16,那么C的方程为.3 .平面直角坐标系XOy中，过椭圆M：=+2r=1(0>b>0)右焦点的直线x+y-0=0a2b2交M于A,8两点，尸为AB的中点，且。尸的斜率为2(1)求M的方程；(2)C,。为M上两点，若四边形AC8。的对角线CO_1A8,求四边形ACBO面积的最大值.双曲线及其性质1 .双曲线的定义(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：与两个定点K,鸟的距离的差的绝对值等于常数2a2。VFE.(2)上述双曲线的焦点是，鸟，焦距是IGF2注：当2a二±F2时，动点的轨迹是两条射线；当2a>KK时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段6尸2的中垂线.【典例1】已知动圆M与圆C(x+4)2+y2=2外切，与圆G1%-4>+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹