正弦定理 教学设计.docx

1.1.1正弦定理赃朝H加政迫课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P23,思考并完成以下问题(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？解三角形的含义是什么？新加痂穗1 .正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，叱M=焉=占S111/1S111>>1111点睛正弦定理的特点(1)适用篦国：正弦定理对任意的三角形都成立.(2)片构舫式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化.2 .解三角形一般地，把三角形的三个角A,B9C和它们的对边幺，bt£叫做三角形的元索，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三鱼形.一枚叠孑1 .判断下列命题是否正确,(正确的打，错误的打"X”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在aABC中，等式加inA="sin3总能成立()(3)在A43C中，已知a,b,A9则此三角形有唯一解()解析：(1)正确.正弦定理适用于任意三角形.(2)正确.由正弦定理知;=J即加inA=sinB.b1/1o1HD(3)错误,在2U3C中，已知由b,A9此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由atb9A的值来定.答案：(2)X2 .在AABC中，下列式子与陪的值相等的是()SinBAsinADSi11CCSinC解析：C由正弦定理得，益=碇，osinAsinC所以丁N-T"3 .在AABC中，已知A=30。，B=60°,=10,则等于()A.52B.103C.当D.56.ox乎解析：选B由正弦定理得，i-=103.24 .在aABC中，A=30°,=3,b=2,则这个三角形有A.一解B.两解C.无解D.无法确定题型一课堂讲练设计，举一能通类题解析：选AYb<a,A=30o,B<30o,故三角形有一解.已知两角及一边解三角形典例在aABC中，已知=8,8=60°,C=75o,求A,b,c.解4=180°(8+0=180°(60°+75°)=45°,、一八4一ba.GSinIi8×sin60o.r7由正弦定理-:n=t得b=-17-=ITZN6,sinBSInA'sinAsin45Y92+6.acsinC8Xsin75o4-1-1由7=7、,得cr:4-o=F=4(3÷1).$mAsinCsinAsin45迫V2已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出笫三个角.(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边.注意若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非钟殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°),再根据上述思路求解.活学活用在aABC中，若A=60。,3=45°,BC=32,则AC=()A.43B.23C.3D.W解析：选B由正弦定理得，第=篇，即扁%=肃%，所以AC卷XW1=23,故选B.题型二已知两边及其中一边的对角解三角形典例½ABC,=3,>=2,8=45°,求A,C,c.解由正弦定理及已知条件，有磊=V,得Si1IA=兴Ya>b,A>B=45o.A=60o或1200.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,当A=I20°时，C=180°-45°120°=15°-Si1IC_ViSi1I75。_6+2C=SiI1B=sin45°=2;bsinCV2sin15oy6-y1=sinB=sin45°=2-'综上可知：A=60o,C=75o,C=Y3或=I20°,C=15o,C=已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.如果巳知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果巳知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.活学活用在aABC中，c=6,C=60o,a=29求A,Btb,aC.crsinC2解：*sinA-SiI1C，''SmA-C-2-A=45o或A=135°.51Vc>,OA.A=45°.y=75ob=CSiIIBWsin750r-,Si11C=sin600=3+1,典例在AAbC中，cos(j-=7cos(j-),判断ZUBC的形状.解：法一化角为边V QCOSG_4)=力COSG一8)，*0sinA=Z>sinB.由正弦定理可得："4，1K1Ka2=b29a=bt.A8C为等腰三角形.法二化边为角V QCOC_4)=加os©-8),asinA=Z>sinB.由正弦定理可得：2Ksin21=ZRsiMB,即SiIIA=Sin8,.A=B.(A+B=不合题意舍去)故Aabc为等腰三角形.利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a=b,°2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：Sii1A=技，sinB=,sinC=.化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状,利用的公式为：=2RsinA,=2RsinB,c=2RsinC.活学活用在AABC中,sin2A=sin2B÷sin2C,且sinA=2sinBcosC.试判断aA6C的形状.解：由正弦定理，得sin4=或，sin八=森，sinC=卷Vsin2A=sin2B+sin2C,(>=(>+(>,即a2b2+c2,故A=90°.C=90o-B9cosC=sinB.2sinBcosC=2sin2B=sinA=I.".sinA=乎.B=45或8=135°(A÷B=225>180°,故舍去).ABC是等腰直角三角形.屋课后层级训练，步步提升能力层级一学业水平达标1.在A4bC中,a=5,b=3,则SinA：Sinb的值是)53A.jB.gC.D,解析：Aa根据正弦定理得黑=；=?2 .在Aabc中，°=加mA,则Aabc一定是)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：选B由题意有肃N=b=肃下，MsinB=1,即角“为直角，故AABC是直角三角册.3 .在AABC中，若乎=喑，则C的值为)A.30oB.45°C.60oD.90°解析：选B由正弦定理得，手=呼C=喑，则cosC=sinC9即C=45°,故选B.4 .在2ABC中，a=3,b=5,sinA=,则SinB=解析：选B在AASC中，由正弦定*=卷，5×1.bsinA3_5得SmB一°一3一95 .在AABC中，角A,B,C所对的边分别是«,b,c,且=5加inA9则sin6=()解析：选B由正弦定理得=2KsinA,b2RsinBt所以SinA=/5sin3sinA,故Sin6 .下列条件判断三角形解的情况，正确的是(填序号).=8,8=16,4=30°,有两解；力=18,c=20,B=60°t有一'解；4=15,b=2,4=90°,无解；a=40,b=30,A=120°,有一解.解析：中=ASinA,有一中CSiI1B<b<cf有两解；中A=90°且a>b,有一解；中。且从=120°,有一解.综上，正确.答案：7 .1tABC中,若(SinA+sinS)(SiIIA-sinB)=sin2C,贝!5C的形状是.解析：由已知得siiAsi/b=SiII2。，根据正弦定理知SinA=£,Sinb=4，sinC1K.KC=2R9所以(-(=()2,即a2-b2=c2t故从+。?=”?.所以是直角三角形.答案：直角三角形8 .½AC,若A=Io50,C=30°,b=1,贝IIC=.解析：由题意，知/T=180°-105°-30°=45°.由正弦定理,得C=绡5=，：啜”！1oi1!W-2,答案:半9 .已知一个三角形的两个内角分别是45°,60。，它们所夹边的长是1,求最小边长.解：设Aabc中，a=45o,b=60o,则C=180o-(A+B)=75o.因为CB>A,所以最小边为又因为c=1,由正弦定理得，csin-IXSin45°-"=sinC=sin75。=勺3-1,所以最小边长为小一1.10 .在aAAC中，已知4=2i,4=30°,5=45°,解三角形.施.,a_b_c册'*sinAsinsinC92ix也.asin22sin45ov2"=sin1=sin30o=-T-=4*2C=180o-(A+B)=180o-(30o÷45o)=105°,._sinC_2isin125°.2isin75。*c-sinAsin30012=42sin(30o+45o)=2+23.层级二应试能力达标1 .在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=5”,B=30°,那么角。等于()D.75°A.120oB.105°C.90°解析：选AVc=3a,sinC=3sinA=3sin(180o-30°C)=3sin(30o+C)tanC=-3.X0o<C<180o,=3sinC÷cosC,即SinC=3cosC9C=120°.故选A.2 .已知,b9C分别是aABC的内角A,BtC的对边，若aABC的周长为4(i+1),且sinB+sinC=2sinA9则A.2B.2C.4D.22解析：选C根据正弦定理，sin3+sinC=<isiA可化为力+(?=也“,；Aabc的周长为4(2+i),f1+÷c=4(2÷1),(1解得=4.故选CU+c=i0,3 .在相，中，4=6。,kg则SEA鲁SinC等于A*B,C挈D.23、1F+b+ca解析：逸B由=2RsinAfb2RsxnB9c=2RsinC得而不后而氤=22品行_13_2V39=SiI160°=34 .如图，正方形ABCO的边长为1,延长BA至E,使AE=1连接EGEDf则SiI1R迎b,10ZCED=()A噜解析：选B由题意得Eb=EA+A3=2,则在RtAEBC中，ECEB2BC2=4÷1=下.在AEDC中,ZEDC=ZEDA+ZADC=7÷7=,由正弦定理得Sm/D=学:Q/QSi115vJ_正前.“