斜率和积与定点定值问题.docx

二、怎么考【综合题组】【例1】（2023新课标I）设椭圆C:J+/=,设直线/不经过R点且与4C相交于A,8两点.若直线与直线58的斜率的和为T,证明：/过定点.变式I（2。22新高考I）已知双曲线C4一丁=1,直线，交C于P,。两点，直线ARAQ的斜率之和为0求/的斜率.22【例2】（2023新高考）已知椭圆C：±+±=1的点M,N在C上，且AM_1AN,AD1MN,D为63垂足.证明：存在定点Q,使得IDQ1为定值.8.9斜率和积与定值定点问题一、考什么四层1.【必备知识】(一)、一般结论：A,B是圆锥曲线上两动点，点M为其上一定点，MA,MB的倾斜角分别为,则以下条件均可得出直线AB过定点：Amwj="J(非零常数)；&松+Wf=(非零常数)；勺乂+仍=0,砥8是定值a+万=6(0<8<)为定值：京丽为常数.(I)A,B是抛物线y2=2px(p>O)上异于顶点的两动点，点河(与，叫)为抛物线上一定点，过M作两条弦MA,MB.(I)若kMAkMn=m(非零常数)，则直线AB过定点(O-型，-%)；(2)若AMA+&“&=(非零常数)，则直线AB过定点(飞-斗,号一为)：(3)若直线MA,MB的倾斜角分别为,且。+/=6(0<。<兀)为定值，当a,变化时，直线AB过定点(.-组-2p,Z2-%)IanQtan6'(2)过椭m+W=1(>%>0)上一点7(%,5b)作该悌网的两条弦MA,M8,设直线MA.MB的斜率分别为&,内。ab(1)当二mf常龄"Ofb"A时,一线AB过定点(工7a)M-orw-p)(2)特别地当堆产T时，定点为(E“Ry°)当时.则直线M有定向.(当直线M的斜率存在时.有底I=-F)(4)当+*j=,h("hO)时.直线AB过定点卜3，.-誓(5)当勺+&=0时,则直线AB有定向1一%.0NO注：(1)若您点在y轴上.只需结论中的:对调即可：<2)上述命区的逆命周仍然成立(3)双曲线类似把，我出-“(二)P是定点，MN分别为线段AB和CD的中点D若直线“丽+勺。=/,则直线Afi过定点.)(1)若直线以6,%e=i,(i)；IHO则直线MN过定点.(ii)4=0则直线MN斜率一定。变式2.(2023全国甲)设抛物线C)/=4、的焦点为凡点。(,0),过尸的直线交C于M,N两点.设直线M。,N。与C的另个交点分别为A,8,记直线MMA8的倾斜角分别为a,£.当。一夕取得最大值时，求直线AB的方程.【例3】(2023镇江期末)己知椭圆二+1=1(4>>0)的右焦点尸(1,0),离心率为g,过尸作a'b'2两条互相垂直的弦48,Co,设AB,Co的中点分别为M,N.【应用题组】例4(2005山东)已知动圆过定点多。且与直线X=-3相切，其中P>O(I)求动圆圆心的轨迹C的方程:(ID设A、B是轨迹C上异于原点。的两个不同点，直线QA和。B的倾斜角分别为和夕，当a,变化且a+为定值6(。<。<乃)时，证明直线4B恒过定点，并求出该定点的坐标.例2【详解】设点M(A因为AM_1AN,.丽/丽=0，即(-2)(j-2)+(y,-1)(y2-1)=0,Q当直线MN的斜率存在时，设方程为N=依+?,如图1.代入椭圆方程消去y并整理得：(1+2/)V+4Amv÷2m2-6=04km2m2-61÷22,根据M=+m,y2=kx2+m,代入整理可得：(k2+1)x1x2+(-2)(1+x2)+(2z-1)+4=0将代入.(小+1)£：1+(E1A-2)(-7)+(m-1)2+4=0,1I/A11/KJ整理化简得(呆+3，+1)(2女+7-1)=0,：4(2,1)不在直线的上，2攵+71；t0，2k+3?+1=0,左工1,于是MN的方程为Iy=A(Xj)-,所以直线过定点直线过定点E(|,一；)当直线MN的斜率不存在时，可得N(,一),如图2.代入(苔一2)(占一2)+(乂-1)()，21)=0得(演-2+1-£=0,所以AE中点Q满足IQq为定值G4E长度的一半gj(2|j+(1+gj=竽).8. 9斜率和积与定值定点问题答案例当斜率不存在时，设/：X="?,A(n,yA)»B(m,-j)k+k=y1+yx=-=-N股mmm得切=2,此时，过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设A(X1y3巩占，)联立IU:=0'整理得("以V+8珈+而一4=0j+占则M“21Z1+£1=辿M31她坦*%工2%与86-8卜-8助2+8助=/叫厂)T，又"1=>b=-2-1此时A=-64k,存在&使得>()成4从-44(+1)0-1)1+4公立.直线/的方程为y=区-2&-1,当x=2时，y=-1所以/过定点(2,-1).2练1双曲线C:f-y2=1,易知直线/的斜率存在，设/:、=履+】，P(x,y,),(,j2),y=kx+m联立,可得，(1一2左2)/-4"73一力2-2=0,)一=16nk2+4(2+2)(22-1)>0>n-+2k2>0.yV1所以由心p+原P=O可得，7+dq=°,七一ZXeZ即(苔-2)(A1+m-1)+(j-2)(fc+m-1)=0,即2kxix2+(?一1一2%)(&+x2)-4(m-1)=0,2m2+2/,4mk.t,x_所以2X1+(1J2&)-4(m7)=0,1K1ZK-1化简得,8Ar2+4-4+4(+1)=0,即(2+1)(2-1+-)=0,所以=一1或M=1-2%,当机=1一22时，直线/：)，=去+?=MX-2)+1过点A(2,1),与题意不符，舍去，故Z=T.1a(一;)Ii11分同理将上式中的2换成-可得GVj-=；XA-1-v2则kpz=kPN，直线MN过定点P(.0).又当AB,CQ斜率有一个不存在时，也过点(j,0),所以，直线MN过定点(早0).12分(3)由第(2)问可知宜线MV过定点P(g,O),故SAFAfNUSAFPM+S&FPN=×-UI+×-rI232+k2231+2K1(3+32)1伏(+1)=6(2+k1)(+2k-)=5*2k4+5k'+2(IJtI+)JIk1222+5+k2令，=IA1-2,+00),SAFMN=f(t)=×r-=-X-7R122(r2-2)+522产+111_力2,(0=-7,<0,则/(/)在/e2,-hx>)单调递减，2(2t+1)当r=2时/取得最大值，此时SAFMN取得最大值3，此时k=±1.例4解：(I)如图，设M为动圆圆心，(5,0)为记为尸，直线X=/的垂线，垂足为N,由题意知：IM/I=IMN1即动点M到定点F与定直线X=-E的距离相等，由抛物2线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中尸(§,0)为焦点,X=-K为准线，所以轨迹方程为，=2&定尸0)2(II)如图，设AaH),8伍,必)，由题意得玉工王(否则+A=%)且X"'"0所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=U+力，由于A(2,1),E(g,-g),故由中点坐标公式可得故存在点,使得IQQ1为定值例3解：(1)由题意c=1,£=也，则=,b=,a2椭圆的方程为5+V=.(2)B,8斜率均存在，设直线AB方程为y=A(xT),¼'1,y1),B(x2,y2),M(.；±,以丁？T),I)'=中一"得(1+2&2*_4h+2犬-2=0,1+2-2=0,4公2=77F'2k2-kI,2a故M(金,-).将上式中的k换成-1,则同理可得2k'-21+22+2k2kO19k'7M=T,J½)如二竺T=-F，得*=±1,则直线MN斜率不存在，2+K2+*1+2K2+*此时直线MN过点*0),下证动直线MN过定点P(,0).(法一)-kk若直线MN斜率存在，KHw=一左（3公+3）=3-k2k4-22xk2-+2k22+k2直线MN为)，-击=x击(-令y=0,得X=,小23+k2-r+×="×r2+公32+r32+公1+2二-2+好2k22又当AB,S斜率有一个不存在时，也过点彳,0),所以，直线MN过定点号,0).(法二)动直线MN最多过一个定点，由对称性可知，定点必在X轴上,222设X=£与X轴交点为P(f,O),下证动直线MN过定点A,(-.0).3333k×-2I-Jt210分-k当A±1时，与=基2产2T+2F3,y-y24_必一),4_4由斜率公式可得''v21_2z.>+>,2t21-21%+外，4444直线MO:x=±匚y+2,代入抛物线方程可得V一幺±21.),8=O,>,Ji>O,yiy3=-8,所以X=2%,同理可得乂=2乂，所以心84%+乂42(y,÷y2)2又因为直线MMAB的倾斜角分别为,/,所以A=Ian4=g=詈，若要使。一最大，则夕(,当且仅当g=2攵即A=立时，等号成立，所以当a一尸最大时，左相=正，设直线八3:尤=&，+，22代入抛物线方程可得y2-4拒)，-4=O,>0,以北=-4z=4v,y2=-16,所以二4，所以直线A8:X=Jy+4.22显然M=三,8=空，将y=H+与丁=2px联立消去X,2“2p得kyy%-4p2将（*）式代入上式整理化简，得：Iane=2P,：tb=2d1+2pk,b-2pkIane此时，直线AB的方程可表示为：y=kx+-+2pktan。即（x+2p）-Iy%=0,.直线AB恒过定点（-2p,%ItaneJItanoJ,由1*、2*知，当e=g时，直线48恒过定点（-2p,0）,当夕wC时直线AB恒过定点f-2p,%oVtan刃练2.解：设(,yJ,N(;,%，八(蔗，3直线MN:x=/2+1,x="iv+1、,可得V-4"?-4=0,>O,y1y2=-4,)，一=4.1-2py+2pb=Q由韦达定理知y1+y2=-,yi-y2=-(*!)kI*当O=T时，即a+/=时，tanatan/7=122=I-V1X2-y1J2=O,-y1y2=0,y,y24p2百24p由(*)式知：=4p2,：.b=2pk.k因此直线AB的方程可表示为：y=kx+2pk,即2(+2p)-y=0,.直线AB恒过定点（-2p,0）2*当Owg时，由a+/7=。，得tan。=tan(+/?)=+A2p+2ptana+tan_nKI_y.1-tanatan.vv22P2中2y%2p(»+»)