圆的一般方程 教学设计.docx
2.3.2圆的一般方程目标重点：圆的一般方程的推导.目标难点：如何应用圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长.学法关键联想二元一次方程和直线间的关系.通过自己的推论明确圆的一般方程的特点.由圆的一般方程求圆的半径或圆心常用配方法.用待定系数法求圆的方程，以便简化计算研习点1圆的一般方程把圆的标准方程(xa)>(y-A)展开整理得xy2axr=0.在这个方程中，令了一2a,呼一2b,改M+FF,则这个方程可以表示成y+六3i户0,其中£,广为常数。将方程V+六产用0配方得(X+争2÷(y+y)2=D_竺，(1)当+4一4冷0时，方程表示以(_2,_马为圆心，IJBrT不二彳为半径的圆；222(2)当+讶一4月。时，方程表示一个点(_2,_£)；22(3)当+彦一4h0时，方程无实数解，因而它不表示任何图形。将方程*+>+以40(5十一4冷0)叫做圆的一般方程.圆的一般方程的特点圆的一般方程V+/+广均+六0具有以下特点：(1)/,/项的系数相等且不为零；(2)没有灯项；(3) Z+-4>0.满足以上条件时二元二次方程才表示圆研习点2.圆的一般方程的应用1 .同圆的标准方程一样，求圆的一般方程也是用待定系数法.由于在圆的一般方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件才能确定出一个圆的方程；2 .如果已知曲线是圆，并且已知条件和圆心的坐标或半径都无直接关系，此时可设圆的一般方程再用待定系数法求出，E,E题型1.概念判断题例1.下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.(1)2x+y+-7+5=0;(2)/一才产产+6e7*0；(3)+y-2-4+10=0;(4)2丁+2/一4片0；(5)+2a+62=0.解：根据表示圆的充要条件知(1)(2)(3)(5)均不能表示圆.(4)能表示圆，经配方化为标准式，知圆心为(0,1),半径为1题型2.一般方程化标准方程例2.将下列圆的方程化为标准方程并写出圆心坐标和半径.(1) jr2+y=0;(2) A2a=0(a0);(3) x+y+2ay-1=0.解：(1)f+/-A=O配方后为(xJ_)2+/=J_,24所以圆心(1,0),半径尸22(2)将V+/+2日尸0(c70)酉己方得(x+d)2+=a2,所以圆心为(一小0),半径为IH.(3)将y+÷2c?/-1=0配方得y÷(+5)2=1÷a2,所以圆心为(0,a),半径为r=J1+1.题型3.求圆的一般方程例3.求过点4(2,一2),6(5,3),C(3,1)的圆的方程。解：设所求的圆的方程为40,将4(2,2),5(5,3),6,(3,一1)三点的O=8解得，E=-IOF=-444+4+2D-2F+F=0坐标代入圆的方程，得,25+9+5O+3E+尸=0,9+1+2D-E+F=0圆的方程为V+4+8X10y44=0O题型4.求动点轨迹例4.已知力式的边相长为2a,若比的中线为定长处则顶点C的轨迹方程是.解：由题意，以肿点为原点，边力断在的直线为斓!建立直角坐标系，如图，则4(a,O),B(a,0),设。(力，则66中点为£(史H,2),因为I力£|二卬，所以22件+4+(步”化简得(户3a)2+/=4/.由于点C在直线46上时，不能构成三角形，故去掉曲线与蒋I11的两个交点，从而所求的轨迹方程是(户3a)2+2=472.(y0)【教考动向演练】1 .圆/十六4户26厂%0与坐标轴相切，那么可以取的值是(A)(J)±2或±13(B)1或2(O1或一2(D)一1或I2 .若圆/+/=4和圆2+y+4-464二O关于直线/对称，那么/的方程是(D)(力)产*O(B)+-2=09-y-2=0()X62=03 .如果圆X?+/+以+户O与封山相切于原点，则(C)(J)D0,E0,后O(B)D0,左0,后0(C)D=OfE0f后O(D)D=Of斤O,F04 .圆Gy+/2x66"9=O关于直线xy1二O对称的曲线方程是(C)(A)x+y+2H-6jH-9=0QB)x+y6+2j-9=0(Ox2+-8a+15=0(。)+y-8-15=075 .若方程2+aw2”+24+3-1=0表示圆，贝的取值范围是(一2,)。2.6 .三角形力式的三个顶点4(1,4),B(-2,3),C(4,-5),则A4?C的外接圆方程是.x+y-22yr-23=0例5.圆。过点4(1,2),6(3,4)且在X轴上截得的弦长为6,求圆。的方程.解：设所求圆的方程为y+/+广须÷尸0,圆过4(1,4),6(2,3),所以62屏六一5,3ZM瓦片一25,令广0得y+户后0,设圆。与X轴的两个交点的横坐标分别是乂，Xz,由韦达定理，得小+而二一，xx尸F,因为|为一至1二6,所以(为+而尸一4乂法36,即一4户36,D+2E+F=-5D=12D=-8联立,3D+4F+F=-25,解得.£=-22或E=2,即D2-4F=36F=27F=7所求圆的方程为/+”+12才一22+27=0或/+78才-2户7二0。例6.已知方程V+y-2(t+3)户2(14例jH-16t,+9=0,求：(I)t为何值时，方程表示圆？(2)当方程表示圆时，t取何值圆的面积最大？解：(1)胫+片一4片4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4>0,解得一,<t<17(2)由于5=口封(当与最大时，S最大)，又-.(4+下-4Q=-7t2+6t+1,配方得：-7(t-)2+.477故当t=3时，/最大，此时>二屿，故SM3兀.777【教考动向演练】9 .若/+/一矛+y一炉0表示一个圆的方程，则力的取值范围是(A)(A)ni>(B)勿2(O成(P)i>一222210 .方程玄+2灯+/+户y2=0表示的曲线是(B)(J)两条相交直线(B)两条平行直线(O不是圆也不是直线()圆
