圆锥面及其内切球 教学设计.docx
2.2.3圆锥面及其内切球教学目标：1了解圆锥面及其内切球的相关概念；2.了解平面与空间是辨证统一的关系，平面上的问题可以借助于空间得到解决，空间中的问题又可以化归为平面问题解决.教学重点：圆锥面的内切球及其性质.教学难点：圆锥面的平面截线.教学过程：思考1：圆锥面的概念及其性质：一条直线绕着与它相交成定角wo<e<g）的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面.这条直线叫做圆锥面的母线，另一条直线叫做圆锥面的轴.母线与轴的交点叫做圆锥面的顶点，如图.顶点为瀚圆锥面常记作圆锥面s通过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面圆锥面有以下一些基本性质.性质1圆锥面的轴线和每一母线的夹角相等.性质2如果一平面垂直于圆锥面的轴线，则其截圆锥面所得的截线是圆.思考2：圆锥面的内切球及性质如图，设圆锥面加母线与轴线的夹角为,在圆锥面郛!轴线上任取一个与顶点坏同的点。，设Si为任一条母线，作而与点凡则QH=SOSina由此可知，点到圆锥面5每一条母线的距离都相等.以妫球心，放为球的半径作球0,则每一条母线都与球啪切.于是，从S发的每一条切线长相等，切点在轴上的正投影都落在同一点所有切点与点侬距离相等，并且在通过点6fi垂直于轴线的同一平面上，J所以圆锥面解J每一条母线与球丽切的切点的轨迹是一个圆./这个圆通常称作切点圆，球加U做圆锥面强内切球.由以上分析可知，圆锥面与内切球的交线是一个圆，并且该圆所在平面垂直于该圆锥面的轴线.例已知一圆锥面S,其轴为Sx,一平面。不过顶点阱且与圆锥面5的轴线相交于点水如图）.求证存在圆锥面的内切球与平面。相切.证明：过顶点5作直线垂直平面。与点则平面S礴直于平面，如为这两个平面的交线.由于平面S柄过圆锥面的轴线Sx,所以圆锥面送于这个平面成镜面对称.设平面S例和锥面分别相交于母线SI,SB,则4解直线,仍上.作NS厕的平分线交轴线SX与点0,作仍_1_力8与/以妫球心，无为球的半径作球0,则球。与平面。相切于点片由于阳是NMM的平分线，所以点便USB的距离等于球幽半径,因此球。与母线酬!切.因为圆锥的所有母线与其轴线的夹角相等，所以球O与所有的母线相切.总结以上讨论，可知球概与圆锥面辨切，又与平面。相切.同理可以证明，在平面。的下方任然存在一个球，既是圆锥面5的内切球,又与平面。相切（如图）.思考3：圆锥面的平面截线思考如图3-9（1）,AZ）是等腰三角形ABC底边上的高,NMD=直线/与AZ）相交于点P,且与Ao的夹角为以O<<夕试探究:当与夕满足什么关系?（1）/与AB（或AB的延长线1AC都相交D（2）/与AB不相交；（3）/与BA的延长线、A金相交.图3-9如图3-9（2）,可以有如下结论：当/与A凤或AB的延长线）4的相交时,设/与AB（或AB的延长线）交于比与AC交于F.因为£是AEP的外角,所以必然有77>a；反之,当7>a时,/与A3（或AB的延长线）、ACI湖交（2）当/与AB不相交时,则"/A8,这时有N=M反之当夕=时,"/A氏那么/与AB不相交.（3）当/与班的延长线、A渤相交时,设/与BA的延长线交于G因为是APGfi勺外角,所以<如果4v0,那么/与BA的延长线、ACgP相交将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面,则得到图3-10.如果用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸）,而且这个平面不通过圆锥的顶点会出现三种情况：如果平面与一条母线平亍（相当于图3-9（2冲的夕=）,那么平面就只与正圆锄勺一半相交这时的交线是一条抛物戋；如果平面不与母线平行，那么会出现两种情形：平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为椭圆；平面与圆锥的两部分都相交,这时的交线叫做双曲线.定理2在空间中,取直线/为轴,直线/、与/相交于。点,夹角为,ffi绕/旋转得到以。为顶点/为母线的圆锥面任取平面肛若它与轴/的交角为夕（当乃与/平行时,记夕=（）,则/平面芯与圆锥的交线为椭圆（2）尸=。,平面刀与圆锥的交线为抛物线（37以平面加与圆锥的交线为双曲线思考你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论吗？图3-11如图3-11,与定理1的证明相同,在圆锥内部嵌入Dm1de双球一个位于平面Tr的上方,一个位于平做的下方,并且与平面乃及圆锥均相切当时,由上面的讨论可知平面乃与圆锥的交线是一个封汨曲线设两个球与平面T的切点分别为小巴，与圆锥相切于郦52.在截口的曲线上任取点P,连接。耳、尸工.过P作母线交S1于储,交§2于。2,于是PG和PQ1是从P到上方球的两条切线,因此26=PQ.同理,PF2=PQz所以K÷PF?=PQi+PQ2=12.由正圆锥的对称性。2长度等于两圆3、S2所在平行平面间的母桨的长度,与点P的位置无关由此可知截口的曲线是以耳尸2为焦点的椭圆探究如图3T2,（1）找出椭圆的准线探讨P到焦点大的距离与到两平面交线H的距离之比如图3-12,上面一个。斯加/血球与圆锥的交线为圆9,记圆S所在的平面为设万与乃'的交线为加在椭圆上任取一点尸,连接尸耳.在乃中过P作用的垂线垂足为A过P作下的垂线垂足为3,连接AB,则APA在平面乃'上的射影由上所述可知椭圆的准线痴,椭圆上任一点到焦点的近离与到准线的距离之比为常数密2,因此椭圆的离心率为=£2皿,即椭圆的离心率等于褐面和圆锥的轴的交角COSaCOSa的余弦与圆锥的母线神所成角的余弦之比最后,我们延用讨论椭圆结构特点的思路,讨论一下双曲线的结构特点.如图3-13,当用<a时,平面乃与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌">mde淋求，与平面%的两个切点分别弱、鸟,与圆锥两部分截得的圆别为V52.在截口上任取一点P,连接尸片、尸尼.过P和圆锥的顶点O作母线,分别与两个球切于QQ?，则PR=PQ1,PF2=PQ2.所以IPF1-PF2=PQi-PQ1=12.由于。e2为两圆SS2所在平行平面之间的母线段长,因此的长为定值.由上所述可知双曲线的结构特点是双曲上任意一点到两假点（即双曲线的两个焦马的距离之差的绝对值为常数.图3-13
