素数的分类[共7页].docx
素数的分类2，t -1摘要：根据任意素数P23 ,梅森数2, -1,存在二元二次方程8mkp + 4m + k = - o且2"-1有且仅有一个素因子形如23+ 1, (2,左)= 1。按照梅森数的合素性质判别条件，可以对所有奇素数P之3予以分类。素数分类对于研究梅森素数的无穷性及了解素数分布规律有重要意义。关键词：素数，分类一，符号的意义1, P ：大于等于3的奇素数。2, P：形如4'-1的奇素数。3, X：形如4" + 1的奇素数。二，梅森数的合素性质判别条件与素数分类法1,梅森数2-1的合素性质判别条件：2P-1(1)存在奇数左<一,使得23+ 1是素数。2(8p + l)p kp = -l(mod4) 2 2 三 a + l(mod23+ 1)(a +1)2 =kp + l(mod 2kp +1)2,素数分类法(1),根据梅森数2'-1的合素性质判别条件(2)：知p, %具有形式互反性质:据此把所有奇素数p>3分为两个大类。第一大类：存在于等差数列3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43,44 -1中的素数p'。第二大类：存在于等差数列1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41,4/ + 1中的素数设 2朗一1, （2"） = 1； 2左）+ 1|2/-1, （2,r）= h 则存在（a） ， （b） 两种不同对应形式。%' = 4?' + 1 k = 4-l（2）,根据梅森数2-1有且仅有一个素因子形如23+ 1, （2,左）= 1。即每个奇素数p （关于梅森数2'-1）对应唯一的一个奇数人。据此把每个大类的素数按照其对应的奇数左，分为各个子类。3, p-矩阵与q-矩阵对于第一大类的素数，一般的，设p' = 4'-l, r = w + i令，=2, （2,；） = 1,则 p' = 4" 1 = 2"2j 1。再令/ = 2/ + 1, / = 0,1,2,., z = 0,1,2,.；则pf = 4, - 1 = 2/+2 ；-1 = 2/+2（2/ + 1）-1 = 2'"3 / + （2/+2-1）（1）可见：素数p'存在于行号L列号/构成的矩阵之中。称形如式（1）构造的矩阵为矩阵。对式（1）顺序取自然数值行号i,列号/,形成以2-2一1为0列元素的p，矩阵。p-矩阵：/ = 2/+3/ + （2/+2-1）311192735435159677583.72339557187103119135151167 .154779111143175207239271303335.3195159223287351415479543607671.性质：矩阵中没有相同的元素。证：若不然，即设P'2=P'l，于是2,2+3/2+(2/2+2-1) = 2/,+3/1 +2 _1)24+3/0- 乙一1)+ 2/2(2,2也 一1)二。A上式表明，当且仅当，2=%，2= 4时等式成立。故然。由此推知，可按第一大类素数p'对应的 =42' + 1,取2,= 0,1,2,3,所得/值，分为各个子类。2d-1的素因子/ = 2即'+ 1, (2,r) = 1,与行号i,列号/的p'矩阵的关系是:q' = 2kpf +1 = 2(4 加'+1)2,+3/ + (2/+2-1) + 1=2(4 加'+1)2/+3/ + 2(4 加'+1)(2/+2-1) + 1=(4” +1)2'+ + (4“ +1)2 - 2(4" + 1) + 1=(4W +1)2" / + (4" +1)2,+3-(23 mf + 1)式(2)中m'=0,1,2,；称形如式(2)构造的矩阵为d-矩阵。在给定方后，对式(2)顺序取自然数值行号"列号/,形成矩阵。根据府的不同取值，可把第一大类的素数中满足p', q' = 2%力'+1都是素数时形成的“数对“，从p'-矩阵，/-矩阵的对应行构成的并行异公差数列中筛出。当M = 0时，r = 1,可知素数p'与2"-1的素因子q' = 2p' + l之间的关系仅依赖于p'的形式：/ = 4nr-l = 2/+3/ + (2/+2-l)/ = 2p' + l = 2'+4/ + (2,+3-i)取i = 0时，形如/ = 8/ + 3的素数，存在于8/ + 3的等差数列中；2" -1的素因子形如/ 二 2初'+1 = 2' +1 = 16/ + 7 , /存在于16/+ 7的等差数列中；两等差数列8/ + 3和16/ + 7的对应项可以构成“数对”。很显然，“数对”的等差中项也构成一个等差数列：-(8/ + 3) + (16/ + 7) = 12/ + 5也是个等差数列:“数对”的两个元素相对于等差中项的公差序列,-(16/ + 7)-(8/ + 3) = 4/ + 2事实上：取，=0时有：数对(8/+ 3), (16/+ 7)序列：(3, 7), (11, 23), (19, 39), (27, 55), (35, 71), (43, 87) (51, 103) .等差中项序列：5,17,29,41,53,65,77,公差序列：2,6,10,14,18,22,26,取“数对”是由两个素数组成的项时，可以由“双筛法”筛出。因为“数对”的差值随项数递增，在等差中项构成的等差数列中存在的两个素数：p'和2p' + l,按照d = ；(p，+ l)对称分布在等差中项两侧。第二大类的素数分类，可与第一大类的素数分类类比。第二大类的素数p"及2/-1的素数因子q" = 2Z6"+ 1 , (2,%”)= 1的形式是:p" = 4" +1 = 4(2。)+1 = 2注2 (2/ + 1) + 1 = 2/+3/ + (2/+2 +1) 即2”=2啊 + (2注2+1)(3)qn = 2kV + = 2(4?” -1)2/+3/ + (2/+2 +1) + 1(4)式中(2") = 1, F = W-1 ,加"0。p"-矩阵： pff = 2/+3/ + (2/+2+l)51321293745536169778/ + 59254157738910512113715316/ + 917498111314517720924127330532/ + 17339716122528935341748165193321449 .取加 =1, % = 3, / = 2/7 + 1 = 3x2/+4/ + (3x2/+3+7)，一矩阵:3179127175223551512473434391032954876798711995837759671351271319.48； + 31535631.96) + 5510631255.192y + 10317352119.384； + 199参考文献：1初等数论：潘承洞 潘承彪著1997,6月 北京大学出版社2组合数学：屈婉玲 著1997, 9月 北京大学出版社3王元论哥德巴赫猜想：李文林 1999,9月 山东教育出版社4数学与猜想一，二卷：G波利亚2001,7月 科学出版社5数论导引：GHHardy , E M Wright 2008,10 人民邮电出版社6华罗庚文集：（数论卷二）2010,5月 科学出版社7代数数论：冯克勤 著 2000,7月 科学出版社8与Me尸数相关的若干性质：百度文库 2017,5月9染尼氏筛法的推衍与应用：百度文库 2017,6月10Me”号数2 -1的合素性质判别条件：百度文库2017,7月
