基于MATLAB的FIR数字低通滤波器的设计与开发.docx

FIR数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成部分，由于FIR数字滤波器具有严格的线性相位，因此在信息的采集和处理过程中得到了广泛的应用。本文介绍了FIR数字滤波器的概念和线性相位的条件，分析了窗函数法、频率采样法和等波纹逼近法设计FIR滤波器的思路和流程。在分析三种设计方法原理的基础上，借助Matlab仿真软件工具箱中的firl实现窗函数法中的哈明窗设计FIR低通滤波器。关键词：FIR数字滤波器；线性相位；窗函数法；哈明窗；Matlab前言1一基本原理21.1 FIR数字滤波器概述21.2 FIR数字滤波器线性相位定义31.3 FIR数字滤波器线性相位时域条件31.4 设计52.1 FIR数字滤波器的窗函数设计方法52.1.1 窗函数法的设计思路52.1.2 常见窗函数介绍62.1.3 吉布斯效应82.2 FIR数字滤波器频率采样设计法92.3 FIR数字滤波器等波纹逼近设计法102.4 设计123.1 程序设计流程123.2 Matlab 简介123.3 窗函数法的Matlab实现133.3.1 firl函数介绍133.3.2 基于firl函数的窗函数法FIR滤波器设计14总结17参考文献18附录19致谢21前B随着信息科学和计算机技术的不断发展，数字信号处理(DSP, Digital SignalProcessing)的理论和技术也得到了飞速的发展，并逐渐成为一门重要的学科，它的重要性在日常通信、图像处理、遥感、声纳、生物医学、地震、消费电子、国防军事、医疗方面等显得尤为突出。在我们面临的信息革命中，数字信号处理儿乎涉及了所有的工程技术领域。数字信号处理是一种将信号以数字形式进行处理的一种理论和技术它的目的是将真实世界中的一些信号进行分析并滤波，最后得出其中的有用的信号。数字滤波器是数字信号处理的一种，一般根据单位脉冲响应h(n)分为无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)系统。IIR数字滤波器的设计方法简单，特别是采用双线性变换法来设计的数字滤波器不存在频域混叠的现象，但是HR滤波器存在一个较为明显的缺憾，就是它的相位响应一般都是非线性的，而在传输频带内的相位响应如果不是线性的，就会造成有用信号的传输失真，而FIR数字滤波器不仅可以设计成任意的幅度响应 而且可以设计成在通频带内具有良好的线性相位响应。FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)有限长，所以FIR数字滤波器是稳定的，不存在稳定性的问题，且可以通过快速傅里叶变换(FFT)的算法来实现信号滤波，大大的提高的运算效率。因此，FIR数字滤波器日益引起了人们的关注。FIR数字滤波器的设计方法有很多，比较常用的有窗函数设计法、频率采样设计法、等波纹逼近法等。本课题通过运用窗函数设计FIR数字低通滤波器，并实现对给定的信号进行滤波。窗函数设计法是最基本的数字滤波方法，是利用傅里叶反变换(IDTFT)计算给定的频响的理想单位脉冲响应，再加以窗函数进行截断和平滑。Matlab软件的信号处理工具箱提供了FIR数字滤波器设计的子函数，运用Matlab软件设计可以避免繁杂的数学运算，而且具有丰富的绘图功能，可以方便地查看所设计的数字滤波器的幅度响应和相位响应是否满足设计要求。因此，本课题在理论分析各种FIR数字滤波器设计方法的基础上，运用Matlab软件进行仿真分析。一基本原理1.1 FIR数字滤波器概述一般来说一个经典的数字滤波器是一个线性时不变系统其数学模型可以用Z域系统函数”(z)来表示：N-1”(z) = (1-1)l + "z"女=1其中4,么,N,M均为滤波器参数。在式(11)中，当应值不全为零值时，Z域系统函数”(z)必定含有一个或一个以上的极值点，此时单位脉冲响应为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z域系统函数H(z)必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z域系统函数”的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response),即IIR数字滤波器。而当值全为零时，Z域的系统函数H(z)只有一个零点，式(1-1)表示的系统函数H(z)可以写成：/V-I"(z) = ZB(1-2)r=0公式(1-2)表明，FIR滤波器的系统函数是z-的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0<N<8)上有(N-1)个零点，而在z平面原点z = 0处有(N-1)阶极点。公式(1-2)表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为：h(n) = y(ti) = br8(n- r)(1-3)r=0在式(1-3)中，只有当0<N<N-l, 伽)才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数字滤波器(Finite Impulese Response),即FIR数字滤波器。FIR数字滤波器最突出的两个优点是：(1)只要对5)附加一定的条件，就很容易获得严格的线性相位。(2)由于"的极点位于原点z = ()处，所以FIR数字滤波器不存在稳定性问题。1.2 FIR数字滤波器线性相位定义设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N,则其频率响应可以表示为：N-I“(/©) = Z(1-4)/i=0上式通过欧拉恒等式展开可得到"(小)的相位特性。(0),有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。第一类线性相位特性：- TCOT是一个与口无关的常数第二类线性相位特性：。(0)=。0- TC0%是起始相位严格地说第二种情况时的。(是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都满足群延迟是一个常数，仍可以视为具有线性相位的，在第二类线性相位中%=-4/2是常用的一种情况叫1.3 FIR数字滤波器线性相位时域条件对于第一类线性相位，即取=-皿，通过一系列的运算整理之后可得到一个三角函数求和公式：N-Z h(n) sin <y(/?-r) = 0(1-5)式中正弦函数/?() = h(N -1-7?)为奇对称，当/ = (N-1)/2时，对称中心为n = (N-1)/2,需要满足关于(N-1)/2偶对称，即要求：/?(/?) = /z(7V-1-/1), 0<n < A-l(1-6)对于第二类线性相位，即伏=-%/2-a时，通过运算得到公式:N-TZ 力()cos co(n - r) = 0二o函数h(n)cosco(n -7)为偶对称，当/=(N -1)/ 2时，对称中心也为；7 = (/V-1)/2o若要使上式成立，则要使/z()关于(N-1)/2奇对称，即要求：h(n) = -h(N-l-n), 0<n<N-l(1-8)从上述分析看来，线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对()的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应力5)满足(1-6)式；对于第二类线性相位，冲激响应h(n)满足(1-8)式。解放东路课时费老师打款回复了通过傅里叶反变换得到对应的为()为：刎)=则回(2.3)Tin此时的5)是一个无限长的非因果序列，我们需要对其进行截断，变成一个有限长的因果序列。可以先把为5)向右平移。= (N-1)/2个点 得到为'()为：N-1sin o)cn)hd n) = hdn-a) = !=-(2-4)/y L乃 5)相应的传输函数”/(/，)为：%;(/) = H"”.(2-5)然后对5)截取从O到N-1的N个点，N为窗函数的长度，所得的结果加)表示为：/() = co(n) * hd ti)(2-6)双)表示窗函数，一般用下标来表示窗函数的类型，矩形窗记为绿()。2.1.2常见窗函数介绍常见的窗函数有矩形窗(Rectangle Window)、三角形窗(Bartlerr Window) >汉宁(Hanning)窗升余弦窗、哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗、布莱克曼(Blackman)窗、凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)。矩形窗的窗函数为:%()= < /N 11 n <20 otherwise(2-7)其频谱的幅度函数为")=啊贮-sin(口 / 2)(2-8)矩形窗的主瓣宽度为4万/，用矩形窗设计的FIR数字滤波器的过渡带宽度近似为1.84/N。三角形窗的窗函数为:2n%()= <2-N-In(2-9)(2-10)(2-11)卬(=0.5唯(+ 0.2527r27r%3-)+唯 3+a)(2-12)其频谱的幅度函数为sin(a)N / 4)sin(69/2)三角窗的主瓣宽度为81/拉。汉宁窗窗函数为：0.5-0.5 cos0<n<NJN -10otherwise汉宁窗的频谱的幅度函数为汉宁窗的主瓣宽度为81/，汉宁窗在其两个端点都为零，实际中这两个端点的数据是不可用的。哈明窗的窗函数为(2-13)0.54 - 0.46 cos 0<n<N% 5) = 1N0otherwise其幅度函数为W”()=0.54%(+ 0.232万2兀%侬-）+唯（。+一）(2-14)哈明窗是一种改进的余弦窗，能量更加集中在主瓣，是一种高效的窗函数,主瓣宽度与汉宁窗的相同。布莱克曼窗窗函数为/八 4 c2tt(0.42 - ().5 cos+ ().8 cos)”()=jN lN-l0,N ln <2otherwise(2-15)其频谱的幅度函数为2乃2乃Wb()=0.42唯( + 0.25 唯3- )+ WR(a)+ 一)(2-16)+ 0.04 WR(co-47r44)+%F)该窗函数位移不同，幅度函数也不同，会使旁瓣进一步抵消，主瓣宽度为2兀1 N0凯塞窗是一种最优窗函数，不同于前面五种窗函数，凯塞窗是一种参数可调的窗函数，其函数形式如下：其中0<n<N-28/")=1+文(2-17)(2-18)(2-19)一般/。(夕)取15-25项可以满足精度要求。a参数可以控制窗的形状。一般a越大，主瓣越宽，而旁瓣幅度会随之减小，典型的a数据在4到9之间。2.1.3吉布斯效应用窗函数对砥'()进行直接截断，得到有限长序列力()，并以()代替4=()，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的吉布斯(Gibbs)效应。对于一个在有限区间分布的信号，其连续频谱在频域上分布往往是无限的，而在实际信号处理时，我们通常只能在有限的区间内做傅里叶分析，也就是说，我们只能用有限区间