导数与零点、不等式等综合运用（解析版）.docx
导数与零点、不等式等综合运用【题组一零点问题】1. (2021 河北邢台高二月考)已知函数尸(可满足V'(x)3/(x) = x3,/() = oj(l) = e + l,则函数/的零点个数为()【答案】B【解析】当xwO时,由矿(x) - 3/(1)=工4",可得丁/-3/(力=爪1则立I止再3所以以a = e' + C.A J因为/(l) = e+l,所以。=1,故/(x) = V(/ + l)(xwO).因为"0) = 0,所以“司=/(/ + 1),则 /'(X)=炉(X + 3)/ +3)设 g(x)=(1+3)，+3,则 g<x) =(X+4)",所以屋可在(f，Y)上单调递减，在(T”)上单调递增，所以所以广(力.0,则"%)在S，e)上单调递增，尸(x) = "一1在(收)上也单调递增，因为 F(0)= /(0) l = l<0, F(l) = /(l)-l = e+l-l = e>0,所以尸(0)尸<0,所以尸(x)有且只有1个零点.故选：B2. (2021 河南南阳高二月考(理)已知函数/(x) = f(2x-a)(a>2),若函数g(x) = /(/3 + D恰有4个零点，则。的取值范围是()A. (3,4)B. (3,+oo)C. (2,3)D. (4,+s)【答案】B【解析】因为/(x) = f(2x-a)(a>2)的零点为0,所以由g(x) = /(/(x)+ 1) = 0 ,得/3 + 1=0或即，3) = 7或一1.因为(x) = 2M3x-a)("2),所以“X)在()，g+co上单调递增，在。,小 上单调递减，则/的极大值为"0）=0,极小值为/停| = -± /27因为。>2,所以所以结合/*）的图象可得-<-1且解得。>3.2272故选：B3. （2021 北京首都师范大学附属中学高二期中）若函数/（x） = lnx-or有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. （）,+? ） B. fo,-1C.（0,e）D.（一【答案】B【解析】解：因为函数/（x） = lnx-or有两个不同的零点，所以方程lnx-ox = 0有两个不相等的实数根，所以2=。有两个不相等的实数根，X/ Inx , 1-lnx令）'=,y =，所以当x«0,e）时，y>0,函数），=电土为增函数，X当x£（e,”）时，y'<0,函数y =处为减函数，Xt、“ A InxInx 八由于当 x 0,>-co” +8,>0,XXIn X故函数y的图像如图，、故选：B4. (2021 陕西省洛南中学高二月考(理)函数/(x) = -/ + 12x +机有三个零点，则加的取值范围为 .【答案】(16,16)【解析】因为函数因%)=- + 12兀+川,所以 f'M = - 3r + 12 = - 3(x + 2)(x - 2),令r(x)>0 =>-2<X<2；/(x)<0=>1<-2或x>2,所以函数fM在(to, - 2)和(2, + 8)上为减函数，在(-2,2)上为增函数，所以当 = -2时，力力取得极小值，且/(-2)=加-16,当=2时，/(用取得极大值，且/=加+16,f/72-16<0又函数有三个零点，所以< y n，解得-16v?vl6.m + 16>0故答案为：(76,16)5. (2021 河北邢台高二月考)已知方程e'-x-? = ()有且只有1个实数根，则m=.【答案】1【解析】设/(x) = e'x,则r(M = e'l.令/'("=0,得x = 0,则“外在(f ,0)上单调递减，在(0,+")上单调递增，所以")在冗=0处取得最小值"0) = 1.故若方程e'r-6=0有且只有1个实数根，则2 = 1.故答案为：16. (2021 福建福州三中高二期中)已知函数/(幻=，川，若关于x方程r-2/(x) + 2 = 0«£R)有两个不同的零点，则实数Z的取值范围为【答案】【解析】令必)=疝。gx) = *1 +1 = (1 + x)ex+i,所以在(-1,抬)上，g'(x)>0, g(x)单调递增,在上，g'(X)<(), g。)单调递减，所以 g3m.=g(T) = -eT+i=T,又 g(0) = 0,所以作出g (x)与fM的图像如下:令 k =/(x)(k > 0),则方程/(x)-2"'(x) + 2 = 0Q w R)为公-2tk+ 2 = 0(t g R),mi k +2 . 2则 2t = = k + 1,2令g(Q = Z+,作出g的图像:K2当0<2/<2后，即OU<及时，y = 2f与g(Q = k +三没有交点,K7所以方程2f = k + 无根，则女=/。）伏0）无解，不合题意.K7当2/ = 2应，即/ =及时，丁 = 2,与g（k） = k + £有1个交点，K9所以方程“ = % + ：有1个根为攵=夜，则 = /&）（%（）有1个解，不合题意.K2当2/2及，即四时，y = 2f与g（%） = k + £有2个交点，K2所以方程2，= % + ：有2个根为。匕夜，匕 五,K若9=1时,则8=/射伏0）有2个解,右=/（x）（k0）有1个解，所以攵=/5）有3个解，不合题意.若0占1时,则K=/（x）（k0）有3个解，的=/（幻仅0）有1个解，所以攵=/5）有4个解，不合题意.若&勺1时，则4=/。）伏0）有1个解，&=/（x）仅0）有1个解，所以攵=/5）有2个解，合题意.2因为2f =八k所以 2 夜 v2/v3,即综上所述，的取值范围为（也,|）.故答案为:（/2,1）.7. （2021 安徽芜湖一中高二期中（理）已知函数尤）=广2-21时一有四个零点，则实数I的取值范围为.【答案】（O,21n2-l）【解析】函数/（X）=上2 - 2 In x| T的零点个数，也就是丁 =k1一2111耳与 y =，的交点个数，设g（6 =，"-21nx,显然函数的定义域为（0,+8）,短3=。7_2，记="-2_?则有刈2）=（）,1（力=/-2+彳0,XX./（X）在（0,+8）上单调递增，所以当不£（。，2）时，/?（%）0,即 g'（x）0,所以g（x）在（0,2）上单调递减,当 工£（2收）时,/?（%）>（）,即所以g（x）在（2,一）上单调递增，所以晨=鼠2）= 1-21n2<0，同一直角坐标系中画出函数y = H 2-21nx|与丁 =，的大致图象，如图:可得 0</<21n2-L故答案为：（O,21n2-l）8. （2021 江苏无锡市青山高级中学高二期中）己知函数/Xx） =2X +3x：",若函数nvc + 5, x > i有两个不同的零点，则实数/的取值范围为.【答案】（-5,0）【解析】当0W1时，/（力=2丁+3产+团，贝=+6x20,故在大4。上是增函数.要使函数/（“有两个不同的零点，则函数“X）在05与（L田）上各有1个零点，显然相<0.故八/ /，解得：-5<加<0,77/ + 5 >0综上所述：实数力的取值范围为（-5,0）.故答案为：（-5,0）.9. （2021 河南高二期中（理）己知函数"力="一。（工+3）.（1）当。=1时，求/（x）的最小值;(2)若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)-2； (2) (L+8 .【解析】(1)当。=1 时，/(x)= 6?' x3,则/(X)的定义域为()，且/'(%)=定一1,当£(-co,0)时,r(x)<0；当xw(0,+oo)时,/z(x)>0；/(”在(f,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，/(”的最小值为/(O)= 2.(2)由题意知：“X)定义域为(e，口)，fx) = ex-a；当时，./("=/一。>()恒成立，./(“在(收)上单调递增，不符合题意；当。>0时，令，/(x) = 0,解得：x = na,一.当xw(-co,ln)时，/r(x)<0, /单调递减;当x«lna,+oo)时,广(%)>0, /(无)单调递增;即当。>0时，/(X)有极小值也是最小值为/(ln) =-。(2+lna).又当 X->-8 时，f 当 xfm 时，要使x)有两个零点，只需ln)<0即可，则2 + lna>0,解得：>；综上所述：若外力有两个零点，则。的取值范围为(,+810. (2021 广东普宁高二期中)设函数/(x) = /cosx, /'(x)为/*)导函数.(1)求/J)的单调区间;(jr4 37r(2)令(x) = /(x) + r(x) -X ,讨论当XE 时，函数力(X)的零点个数.12 )L 4 4 _37r7E【答案】(1) /(X)的单调递增区间为2- -,2 + - (k eZ), /(x)的单调递减区间为_44_7t 5冗2 + -,2 + (kcZ)； (2)只有一个零点.一【解析】(1)由已知,W fx) = ex (cos x - sin x).(兀、兀、当 x w 2%4 + 1,2%) +亍(kwZ)时，有 sinx>cosx,得/'(X)<。，则单调递减；44 /(37r7i、当2 府一丁,2br + 1 (k£Z)时，有 sinxvcosx,得( )>0,则/*)单调递增.37r7E所以/的单调递增区间为"-72Hl2TF/的单调递减区间为外+于"兀+ 7 2).(2)证明：由(1)有(x) = ev(cosx-sinx)，令 g(x) = /'(x)，(jr 3tT、从而g'(x) = -2e*sinx.当x£(了,：-寸，/(犬)<(),故/«x) = /'(x) + g'(x) g-x) + g(x)(-l) = g'(x) g-x)，(IT TF A7T 3 乃 1因此，X G 时'hf(x) < 0 , X G ;，丁 时,'(x)>(),(4 2)12 4 J他在区间找单调递减,在区间6年单调递增.7C 37r A .、 7T、八二 x£ T 时，h(x) N h 彳=0.14 4 Jy2)所以，当£，了时，函数(x)只有一个零点.14 4 )11. (2021 江苏启东高二期中)已知函数/(x) = l-3x + clnx + d , /z(2) = -|.(1)求/(X)的单调区间；(2)若d>2,求证：只有1个零点.(1A( 【答案】(1)单调增区间是0,-和(1,y)；单调减区间是-J ； (2)证明见解析.【解析】(1)依题意，函数八#的定义域为(。，+8),由 /(x) = x2 - 3x + clnx + d ,得
