利用洛必达法则解决导数问题.docx
利用洛必达法则解决导数问题目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：洛必达法则的简单计算高频考点二：洛必达法则在导数中的应用第一部分：知识点精准记忆、型及三型未定式000f（X1、定义：如果当X-。（或X-8）时，两个函数/（X）与g（x）都趋于零（或都趋于无穷大），那么极限lim .3° g5）（或1怨）可能存在、也可能不存在通常把这种极限称若型及牌未定式2、定理型）：设当无一。时，吧”（刈=°及吧g（x） =。；在。点的某个去心邻域内（点。的去心邻域（a-£M）U（aM + £）内）都有广（X）, g'。）都存在，且，（此。0; /'(X)(3) lim - = I ；g (x)则:r /(x) fx)= lim-g(x)g'(x)3、定理2 （型）：若函数/（九）和g（x）满足下列条件：岬”（x） =。及吧g（x） = 0；（2）3/l>0, /（X）和g（x）在（yo,A）与（A”）上可导，且g'（x）。；（3）1而/ : | = /, g/（X）/'（无）那么hm> = hm: 二 /. g（x） 且（龙）4、定理3 （一型）：若函数/（尤）和g（x）满足下列条件：（1） 1皿/（力=8及1且（力=8；在点a的去心邻域（。- %。） U（。,。+ £）内，fM与g（x）可导且g'（x） w 0 ； /'(X)(3)lim = I,i g (x)那么=/.i g(x)g (x)5、将上面公式中的x -ff-4-洛必达法则也成立.6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:lim4 = lim。? = lim1",如满足条件，可继续使用洛必达法则.ig(x) I g (x) f g (x)二、O.00 型 8 8、0°、/、8° 型1、08型的转化:100I0-OO =>00 =或 0oo=>0一co 002、8-8型的转化:1 10-0 000 00=一0 00-0 03、0°、;00。型的转化：然指函数类0°r00°取对数0-ln0oo-lnl n0oo0-lnoo第二部分：典型例题剖析高频考点一：洛必达法则的简单计算1、判断下列计算是否正确. 6x . 6 ,hm= hm= 1 ；6x-2 i 6解：由于lim尘中分子记为/0) = 6元，分母记为g(x) = 6x-2,2总不是未定式，不能直接使用洛必达法xt16x-2g(x)则._ Q r 4- ?02、求lim(本题属于一型；)Il x -x-xi0解：原式二lim .:一3 （属于9型，继续使用洛必达法则）3x2-2x-06x= lim-（不属于未定型，直接将x = l代入分子分母）6x-2_323、求lim 坐（本题属于差型；可使用洛必达法则）XT+OO X001解：原式=rx r 1 （不属于未定型，直接将X-4W代入分母）lim -= lim9y nxn 1 打 rvcn=04、求lim x“ In> 0）（本题属于0.8型，可使用洛必达法则）x->01解：原式=r Inx r x r / x （不属于未定型，直接将x -0+代入分子）lim = lim = lim（）10+ 工一 x->o+ -nx 1 o+ n=05. （2021.江苏省阜宁中学高三阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为，型，比如：当x-0时,Px _0幺的极限即为5型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则:x0在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：- lim/4 To x xtO £rt（） J则 lim：-=（）I x InxA. 0B. 1C. 1D. 2【答案】D【详解】r2 - 1（X" 1）2%lim4 = lim-二 lim- = 2 ,7 X In x e （J jn %） I 3rn x +故选：D6. （2022重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为,型，比如：eA -10当x-0时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提x0出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：lim = lim= lim = limex=e°=r 则！5=x->0 x 彳。X x->0 Jx->041【答案】y#0.5【详解】v x2 Inx lim= limX->1 f 1 ATTl£H=lim2xiV-1V f 2x= limf In x+ = lnl+ =X->1故答案为：I7. （2022.山东省临沂第一中学高二阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于。的分式结构称为,型，比如：当时，曲的极限即为，型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必达在他的著作无“0限小分析一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如靖¥=期绊字则I靖言二【答案】2【详解】由题可得lin/'+e二-2 - Hm20 1 - COS X20e'+eT - 2)(1-cosx)= limio sin x“T° COS X故答案为：2.高频考点二：洛必达法则在导数中的应用TT1. （2021全国高三专题练习）若不等式or>sinx对于xw（0,g恒成立，求。的取值范围？【答案】a>【详解】当.£（09时,原不等式等价于乎.记/二手,则13 =xcos x-sinx cos x(x - tan x)9XT9XT 2当 x£ (0,g)时,令 g(x) = tanx-x,则 gf(x)=半二 > 0 ,可知 g(x)在(0,g)上单调递增，所以当幻= tanx-x> g(0) = 0,2cos“ x2即 x-tanxv0,所以广< 0.因此/(X)= 蝮在(0噂)上单调递减.x 2sinx/Sinx、。>O。> ()max =。> /(X)max ；XXsin xlim/(x) = limx-»0a->0 xcosx=limx->0|=1.2. （2022全国高三专题练习）已知函数/（x）=lnx +云QAcR）在冗=；处取得极值，且曲线y = /。）在点（1J）处的切线与直线x-y+l=0垂直.求实数的值;若Vx£l,+8),不等式/ <(利2)x-'恒成立，求实数机的取值范围.X答案(l)a = l力= -2(2)相zg(1)解：f(x) = anx+bxyf (x) = + b；x函数fM=a In x+bx(a,b £ R)在x =；处取得极值,. f© = 2a + b = 0；又.曲线y =/(x)在点(1)处的切线与直线工-y+1 = o垂直,/'=。+ = -1 ；解得：(7 = 1,/? =-2 ；(2)777、1TI不等式fM <(m-2)x恒成立可化为In x W nvcxx即 In x < m(x)；Xr In r当x = l时，恒成立；当X>1时，叱E恒成立,令(式)=坐;X -1则/2。)=(lnx + l)(x2 -l)-2x-xlnx x2 -a2 nx-nx-(x2-l)2(x2-l)2令加(x) = x2 -x2 nx-nx-l,ml “、 c ,1 X 2厂 InX 1则m (x) = 2x-2xnx-x=xx令心)=Y -2/ lnx-1 ,则 '(x) = 2x-4xnx - 2x = -4xnx<0 ；得/?(x) = x2 - 2x2 In为一 1在(1,一)是减函数,故 n(x) < h(1) = 0 ,进而"3<o(或加(x) = x-2xlnx，mn(x) = -21nx-l+ <0 ,xx得机'(x) = x-2xlnx-'在(1,转)是减函数，进而加(x)<0).X可得：加(得v/(l) = 0,故力'(幻<0,所以力(x) = 坐在(1,a)是减函数,x -I而，要大于等于(，)=在am上的最大值,r In rIn 1" +1 I当z时，,=没有意义,由洛必达法得噂二吧丁.，3. (2022.陕西.西安工业大学附中高三阶段练习(理)己知函数/。)= 吗+勺 曲线y = /(x)在点(1J)处X+ 1 X的切线方程为工+ 2)3 =().(1)求。、的值;In y k(2)如果当x0,且时，/(x)>14 + -,求k的取值范围.x-i X【答案】(1) a = l, b = l (2) (-OD, 0【详解】(1)fx) =zx + l .、a(Inx)x(x + 1)2b_7x41)=1,由于直线犬+ 2y-3 = o的斜率为-；，且过点(1,1),故、1即/T I 1 I =-处的切线与直线1-)，+1 = 0垂直.求实数。力的值；(2)若Vxcl,+8),不等式f(x)«(7n-2)元-竺恒成立,求实数机的取值范围.X【答案】(1)4 = 12 = -2(2)mzg【解析】(1)解：V f(x) = anx+bxyf (x) = + b；X函数fM=anx+bx(a,b £ H)在x =；处取得极值,/r() = 2。+ /? = 0 ；又.曲线y =/(x)在点(1)处的切线与直线工-y+1 = 0垂直,/'=。+ = -1 ；解得：。=1,。= -2；(2)mit)不等式fM <(m-2)x - -恒成立可化为nx<mx -BP In x< m(x)；X当z时，恒成立；当m时，心若恒成立,令/心)=若则'。)=(lnx + l)(x2 -l)-2x-xlnx x2 -a2 nx-nx-x2 -2x2 lnx-1令加(x) = X2 -x1 lnx-lnx-1
