二次函数中动点及特殊四边形综合问题解析及训练.docx
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备:n物线与直线形的结合表形式之一是，以搪物线为载体，探时是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1J搪物线上的点能否构成平行四边形2搪锄线上的点能否相成矩形，菱形，正方形(3)搪物线上的点能否成成梯形。特珠四边形的性质与是解决这类问题的根底，而待定系数法，数形结合，分类时论是解决这类问题的关键二、二题精析(一)【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，他枷线y = /+公+。与直线y = J%+2交于C,。两点，其中点。在丁轴上,7点。的坐标为(3,)。点P是y轴右倒的抛物线上一就点，过点P作PEJ_x轴于点E,交2CD于点尸.(1)求槌物线的解析式；2假设点P的横坐标为机，当初为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。3假设存在点P,使/PCF = 45。，请直接写出相应的点P的坐标【解答】1.直线y = Jx+2经过点C,.C(0,2)7.搪物线y = 炉+瓜+c经过点C(0,2), D (3,-)2 = c7b =一/. 7,，2=32 + 3/7 + cc2。= 27他物线的解析式为y = -+22.点P的横坐标为团且在地物线上9 71. P(m, 一" + m÷2), F(m, m + 2).p/ C。，.当相=CO时，以。,C,P,b为顶点的四边形是平行四边形71 当 0 vz<3 时，PF = -m2 + m + 2-(-m + 2) = -m2 +3m22. -m2 + 3/7? = 2 ,解得：ml=l,m2=2即当 2 = 1或2时，四边形0。尸是平行四边形17 当 m3 时，PF - (m + 2)-(-m2 + m + 2) = m2 -3m227 o _ tn ZB3 + Jl 73 17 r . ."r -3m = 2 ,解得：m1 = -,m, =-舍去2-2即当叫二三普时，四边形OCFP是平行四边形3如图，当点P在。上方且NPCF = 45。时， riv pm cnMFFNPMFF, .=. PM = CM = 2CF. PF = y5FM =y5CF = y5 ×-CN = -CN = -m222 PF = -mr +3m /. -r +3m = -m211 7解得：t1 =-,叫=0舍去 . P-, -) o22 223 13同理可以求得：另外一点为尸6 18（二）【掘物线上的点能否构成柜形，菱形，正方形】例二.2021荆州如图，：如图，直线y=-5<+x轴、y轴分刖交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向0点运动运动到。点停顿；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=ax-k”+ha<0始终经过点E,过E作EG/OA交棚物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG.设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和立个单位长度/秒，运动时间为t秒.1用含t代数式分刖表示BF、EF、AF的长；2当t为何值时,四2形ADEF是菱形？判断此时4AFG与4AGB是否相似,并说明理由；3当4ADF是直角三角形，且地物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式.国图考点：二次国数综合题分析：1首先求出一次函数y=-+近与坐标轴交点A、B的坐标，然后解宜角三角形求出BF、EF、AF的长；2由EF/AD,且EF=AD=t,那么四边形ADEF为平行四边形，假段口 ADEF是菱形，那么DE=AD=t由DE=20E,列方程求出t的值；如笞图1所示，推出NBAG=NGAF, Z ABG=Z AGF=30o ,证明4AFG与4AGB相似.3当4ADF是直角三角形时，有两抻情形，需要分类济论：假设NADF=90。，如答图2所示.首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出地物线的解析式；假设NAFD=90。，如答图3所示.解髭思路与一机解答：解：1在直线解析式y=-F×+正中，令=o,得卜近；令y=o,得=.".A 1, 0, B 0, 3), OA=1, OB=3.taZ0AB=3, .Z0AB=60o ,.AB=2OA=2.EGOA, .ZEFB=Z0AB=60o .EF=-=2Zl=t, BF=2EF=2t,tan60° 3.".AF=AB-BF=2-2t.2.EFAD,且EF=AD=t,四边形ADEF为平行四边形.假设。ADEF是菱形，那么DE=AD=t由 DE=20D,即：t=2 (1 - t ,解得 t=23.t=2时，四边形ADEF是菱形.3此时4AFG与4AGB相似,理由如下：如笞图1所示，连接AE,y四边形ADEF是菱形，.ZDEF=ZDAF=60o ,.ZAEF=30o .由棚物线的对称性可知，AG=AE,.ZAGF=ZAEF=30o .在 RtBEG 中，BE=2Z EG=2,3.taZEBG=3,BE.,.Z EBG=60° ,.ZABG=ZEBG- ZEBF=30o .在4AFG 与 4AGB 中，.BAG=NGAF, ZABG=ZAGF=30o ,.,.AFGAGB.3当4ADF是直角三角形时，假段NADF=90° ,如答图2所示:2.BE=立，OE=OB-BE=立，22.E 0,爽X G2,爽22设直线BG的解析式为y=kx+b,将B0, 3), G2,立代人得:2b=3rs 3,解得 k= - -, b=/3,2k+b 二号4.,.y= -+34令 x=1,得 y=N,4.M C1,”.4段地物线解析式为y=ax-12+”，点e0,1在抛物线上，42:上a+型,解得a=-Yl244“一业"2+也一技+妇x+立.44422假段NAFD=90° ,如答图3 A示:5.BE=3t=-, OE=OB - BE=5将 B0, 3 G2, 土代人得:5b:遮，.E 0,爽 G2, .55设直线BG的解析式为y=kx+b,fb3q庭,解得k=-2,2k+b=-55.,.y= -×+35令 =1,得 y=23, .M 1,".55设抛物线解析式为y二ax-12+刍近，点E0,立在抛物线上,55.Yla+",解得 a=-"555.y=X 一 12+国 ,% 43+3.55555综上所述，符合条件的地物线的解析式为：y= 返&立+立或422y一雪2+延+立.555点井：此题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相做三角形、解直角三角形、菱形等知识点.第3问中，有两抻情形存在，需要分类甘论，防止漏解.（三）【掘物线上的点能否构成梯形】例三.（2021年XX市）如图，在平面直角坐标系xy中，4OAB的顶点A的坐标为10, 0,顶点B在第一象限内，且A8卜3百，sinzOAB=-1假段点C是点B关于x轴的对称点，求经过0、C、A三点的抛物线的函数表达式；2在中，抛物线上是否存在一点P,使以P、0、C、A为顶点的四边形冰梯形？假段存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；3假设将点。、点A分别变换为点Q -2k,0、点R5k, 0k>1的常数，设过Q、R两点，且以QR的垂宜平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记4QNM的面积为SAQMN » QNR的面积SaqnR ,求SaqmN S AQNR 的值解：1如图，过点B作8DLQ4于点在 RtABD 中，vAB=35 , sin ZOAB =,. BD = sin ZOAB = 35 × = 3.又由勾股定理,得AD= yjABf-BDf =7(3>5)2-32 =6. OD = A-AD = 0-6 = 4.点5在第一象限内,点3的坐标为(4,3).点5关于x轴对称的点。的坐标为(4, 3).设经过0(0,0)，C(4,-3), A(10,0)三点的摭物线的函数表达式为y = ax + hx(a 0).16fl÷46 = -3。一8，由=100+ 10 = 0z 5ib =5x.4C, A为顶点的四边形为佛形.4.经过。C, A三点的抛物线的函数表达式为y 二2假段在1中的抛物线上存在点P,使以P,.点C(4,-3)不是抛物线y = 'f 一 *的顶点，84过点。作直线。4的平行线与抛物线交于点.那么直线c的函数表达式为y = 3.X5 - 4-2X1 - 8-y于对而点 C(4,-3), .(6,-3).在四边形匕40。中，CPlOAf显然C制OA卜点(6, 3)是符合要求的点.假设ACO.段直线CO的函数表达式为y = 1r.招点C(4,-3)代人，得4占=-3.3.直线C。的函数表达式为y =尤.4于是可设直线的函数表达式为y = -qx + 4315招点 A(10,0)代人，得一一xlO + 4=O. .*= 一 .42315直线AA的函数表达式为y = 2 + B.42315y = x H由42 =>x2-4x-60 = 0,即(x-10)(x+6) = 0.1 2 5jx1 =10, jx2 =一6,y =。； i% = 12；而点 A(l 0,0), .£(6,12).过点用作£E_Lx轴于点E,那么比E = 12在RtAE中，由勾股定理，得A周二 MGA吁=Jd+G =20.而 CO=O,=5在四边形鸟OC4 中，AP2 CO, gAP1CO.点巴(一6,12)是符合要求的点.假设。鸟 CA.段直线C4的函数表达式为y = &x + %.将点 A(10,0), C(4,-3)代人，得 <.直线C4的函数表达式为y = gx.直线
