Mallat算法小结含MATLAB编程.docx
Mallat算法小结一、发展背景1987 年,Mallat and Meyer 提出了 多分辨分析(MuitiresolutionAnalysis),从而成功的统一了在此之前的 Stromberg>Meyer>Lemarie和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形。并且Maat在图像的分解与重构的塔式算法的启发下，根据多分辨率理论，提出小波分解与重构的快速算法，称为Mallat算法。二、算法优点Mallat算法可以避免尺度a值越大，对信息 (t)的采样就得越密的缺点，这一算法在小波分析中地位很重要，相当于快速傅里叶变换(FFT)在经典傅里叶分析中的地位。三、基本原理及步骤1、Mallat算法的信号分解1)根据多分辨率理论，得出结论：的 t)=-(t)n其中，Pjf(t) f(t)在中的投影，是f(t)在分辨率j下的平滑逼近。Xn(j):线性组合的权重,也就是f (t)在分辨率j下的平滑逼近的概貌。act)：离散后的正交小波基当尸。时，Pof (t) W篇(1)n由于%-<P 1 (t), k (t)=P 0 (t), % (t)因为 D1f (t)与因(t)正交，所以 <D0(t)u(t)> = 0,所以源4(t)>=M,丸(0九)nn其中So” (t),01k (t)>=%(n-2k)代入(2)得(3)、(0)Xk )(n-2k)(1)注：Xli为离散平滑逼近类似还可以得到dT=*)X :(4)注：d?)为离散细节信号即小波信号2)从设计滤波器的角度考虑，设X=*lo(k)= Zo(k-n)"(5)n经过二抽取后，得一Xk Xik将(5)式代入上式，得X 丁=lo(n-2k)¢6)n类似还可以得到d：=X/Zi(n-2k)x：°)n注:(6) (7)式表现了由V。到V, W的分解。仿照前面的步骤推导出如下结论xf=S."(t)>T=S"，丸(。£( 8 )nnd7=S"(%(t)>xT=S.(t),%(t)>x7(9)nn其中分解系数为Sn(t)Mk (O>=Sn ，协k (0>=%(n-2k)九(t)，%(t)=So”(t),%(t)=%-2k)这样我们可以逐级引申，对婷做由V倒V2, W2的分解，得到 记和或，再对做由V2至|JV：“ W3的分解，得到X：和看"，对小由Vj到Vj" W汛的分解，所需的电路结构不变，且滤波器的系数仍为 (-k) = 0(k), hx (-k)=九(k)。3)如下图所示的网络结构可以重复推演下去。图1网络级联结构2、Mallat算法的信号重建用类似的思路，可以逆推重建过程，由上可知Vj=Vj+6Wj+所以 %"(t)=Py(t)+DJ(t)=(t)+d 觊(t)KK又1-<p-.,-.>因此无了=1%(。，(。王)+1%(。，")/KK由Mallat算法的信号分解中相同的证明，我们可以得到时 ，%."(。=九(。，公(t)=(n.2k)<jk (t)%l,n (t)=九(t),< (t)>=%.2k)所以Xn' (n-2k)x, +zzi(n-2k)t(10)=g(n-2k)0>(n-2k)浦KK(10)式反映了相邻两级的反演关系，其中X?是第j级的离散平滑信号，d?是第j级的离散细节信号；X7)是由X，和d：重建得到的第jT级离散平滑信号。这里 g(k)=So(t),0ok(t)>g(k)=0o(t)ok(t)>其中g°(k)、&(k)与前面的为(k)、%(k) 一样，为重建系数。下图为信号重建的网络结构。四、Mallat算法分解与重建的比较(1)Mallat算法的信号分解系数无。、人相当于分析滤波器；而Mallat算法的信号重建系数g。、g相当于综合滤波器；(2)在重建式(10)中，是对k求和，而在分解式(3)和(4)中，是对n求和;(3)在分解算法中信号是先滤波后抽取，而在重建算法中是先插值后滤波。五、Mallat算法的MATLAB算法编程举例：应用Mallat算法实现两个正弦混合波的分解与重构，分别采用db30小波和db4作为小波函数，分解阶数分别取4和6,并将结果比较分析。MATLAB 程序:(1) %n是阶数n = 6,小波函数为db30clc;clear;%1信号源：混合正弦波fl =50; % 频率 1f2=100;% 频率 2n = 6; %n是阶数t = 0: l(2(n)-l)r 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl*t)+sin(2*pi*f2*t); % 正弦波混合figure(l)plot(y);xlabel('t=0: )titleC两个正弦信号的混合正弦波figure(2)stem(abs(fft(y);出1贝混合信号频谱，)% 2.小波滤波器的谱分析h=wfilters(,db30(,')i % 低通g=wfilters('db307h'); % 高通h=h,zeros(l,N-length(h); %补零(圆周卷积，且增大分辨率变于观察)g=lg,zeros(l,N-length(g)J; %补零(圆周卷积，且增大分辨率变于观察)figure(3);%滤波器图stem(abs(fft(h);titleC低通滤波器图)figure(4);stem(abs(fft(g);titleC高通滤波器图)% 3.MALLET分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)sigl=ifft(fft(y).*fft(h); % 低通(低频分量)sig2=ifft(fft(y).*fft(g); % 高通(高频分量)figure。);分解信号图subplot(2,l,l)plot(real(sigl);titleC分解信号)subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figure(6); %分解信号频谱图subplot(2,l,l)stem(abs(fft(sig 1);tit原，分解信号1频谱subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titleC分解信号2频谱% 4.MALLET重构算法sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取sigl=dyadup(sigl); % 2 插值sig2=dyadup(sig2); % 2 插值sigl=sigl(l,l:N);% 去掉最后一个零sig2=sig2(l,l:N); % 去掉最后一个零hr=h(end:-l:l); % 重构低通gr=g(end:-l:l); % 重构高通hr=circshift(hr',l),; %位置调整圆周右移一位gr=circshift(grl),; %位置调整圆周右移一位sig 1 =ifft(fft(hr).*fft(sig 1); % 低频sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2); % 高频sig=sigl+sig2;% 源信号figure。); 信号重构图subplot(2,l,l)plot(real(sigl);title(低频信号重构)sublot(2,l,2)plot(real(sig2);title,高频信号重构上figure(8);subplot(2,l,l)stem(abs(fft(sigl);titleC重构的低频信号频谱上subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titleC重构的高频信号频谱%5.重构信号与原信号比较fure(9)%图形比较plot(real(sig),'rVliewidth,2)jhold on;plot(y);legend。重构信号，源始信号)titleC重构信号与原始信号的比较图)两个正弦信号的混合正弦波010203040506070t=0:1图3两个正弦信号的混合正弦波图4混合信号频谱低通滤波器图1.50.50'0生屋改登但芟殛疫英&£10203040506070图5低通滤波器图高通滤波器图图6高通滤波器图分解信号12图8分解信号频谱图图7分解信号图2低频信号重构图10重构信号频谱图9信号重构图重构的低频信号频谱30 -20-0102030405060370图11重构信号与原始信号的比较图(2) %n是阶数n = 8,小波函数为db30clc;clear;%1信号源：混合正弦波fl =50; % 频率 1f2=100;% 频率 2n =8; %n是阶数t = 0: l(2(n)-l)r 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl *t)+sin(2*pi*f2*t); % 正弦波混合figure(l)plot(y);xlabel('t=0: )titleC两个正弦信号的混合正弦波figure stem(abs(fft(y);出1贝混合信号频谱，)% 2.小波滤波器的谱分析h=wfilters(,db30(,')i % 低通g=wfilters('db307h'); % 高通h=h,zeros(l,N-length(h); %补零(圆周卷积，且
