初中几何全等三角形常见辅助线作法.docx
全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、ZACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且8E = AO, ACDE是等边三角形.求证：是等边三角形.【例 2】、如图，已知 BC>AB, AD=DCo BD 平分NABC。求证：ZA+ZC=180o.线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例.3如图，己知在aBC中，ZC = 90°, N3 = 30°, A。平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AE,.,ZC=90oAC±CDVCD=CE.*.AD=AEVZB=30o ZC=90o.*.ZBAC=60oAD 平分NBACJ ZBAD=30o DB=DA ZADE=60oVDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4BD笫3题 ZADE=60o AD=AE ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。是ABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是ABO的中线。求证：AC = 2AEo证明：延长AE至J点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FEABE 也 FDE (SAS) AB=FD ZABE=ZFDEVAB=DC.*.FD = DC., ZADC=ZABD+ZBAD*.'ZDB = ZBAD：.ZADC=ZABD+ZBDAVZABE=ZFDE ZADC=ZADB+ZFDE即 ZADC= ZADFffiADF 和4ADC 中AD=AD< ZADF= ZADC、DF =DC ADF也 ADC(SAS)AF=AC.*.AC=2AE【变式练习】、如图，ZABC中，BD=DC=C, E是DC的中点，求证：AD平分NBAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法,倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。【变式练习】：如图所示，AD是aABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AC=BF° 求证：AE=EFo2、运用角平分线构造全等【例5】如图，已知在4ABC中，ZB=60o , 4ABC的角平分线AD, CE相交于点0,求证：OE=OD证明：在AC上截取AF=AE，联结0F在4ABC 中，ZB+ZBAD+ZACB=180o,. ZB =60 °ZBAD+ZACB=120oVD 平分NBAC中.*.ZBAC= 2Z0ACCE平分NACB.*.ZACB= 2ZAC02Z0AC+2ZAC0=120o(ASA)Z0AC+ZAC0=60oVZAOE=ZOAC+ZACO.*.ZAOE=60o在 4A0E >FAOF 中AE=AFZEAO=ZFAO、 AO = A0OE 0F (ASA) ZAOE=ZAOE OE=OF,. ZAOE=60oZA0E+ZA0E+ZF0C=180oZF0C=60o ZAOE=ZCODJ ZC0D=60o在4C0D 和 4C0FZDCO =ZFCOJ CO=COZDOC=ZFOC C0D COF.0D =OFVOE=OF.OE=OD【例6.如图，4ABC中，NBAC=90度，AB=AC, BD是NABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.B【小结】解题后的思考：1）对于角平分线的问题，常用两种辅助线;2）见中点即联想到中位线。ZGAE=ZFAEZDF+ZBAF=90oZGAB =ZFADZGAF = 90° ZEAF = 45°3、 旋转【例7】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度数.延长EB到点G,使得BG =BE先证明4ADFgABE可得到 AF =AG Z DAF = ZGABVEF =BE +DFJ EF = BE+BG =GE GAE 丝 FAE【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕,则NC8D的大小为【例 9.如图，已知NABC=NDBE=90° , DB=BE, AB=BC. (1)求证：AD=CE, AD1CE (2)若4DBE 绕点 B旋转到AABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明4、截长补短法【例 12、如图，ABC中，AB=2AC, AD 平分N84C,且 AD=BD,求证：CD±ACCBD【例10】.如图在RtABC中,AB=AC,NBAC=90° ,0为BC中点.（1）写出0点到4ABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM,请判 断aO M N的形状，并证明你的结论.联结0A则40AC和aOABD都为等腰直角三角形OA=OB=OCANO g BMO （ZNOA=ZOBM）可得 ON=OM Z NOA=ZMOB可得到 NNOM=NAOB=9()°【例11如图，已知M8C为等边三角形，D、E、尸分别在边BC、C4、A8上，且ADEb也是等边三角形.（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的;（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.【例13如图,ACBD, EA,EB分别平分NCAB, NDBA, CD过点E,求证;AB=AC+BD【例14如图，已知在内，ZBAC = 6 NC = 40°, P, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是NB4C,NA8C的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：如图（1）,过。作ODBC交AB于D,ZAD0=ZBC=180o -60° -40° =80。,又 NAQO= NC+NQBC=80° ,ZADO=ZAQO,XVZDA0=ZQA0, OA=AO,ADOAQO,OD=OQ, AD=AQ,又 :OD"BP,ZPBO=ZDOB,XVZPB0=ZDB0,ZDBO=ZDOB,BD=OD,又.NBPA=NC+NPAC=70° ,ZB0P=Z0BA÷ZBA0=70o , ZB0P=ZBP0,BP=OB,AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。O【例 15.如图，在4ABC 中,ZABC=60o , AD、CE 分别平分NBAC、ZACB,求证:AC=AE+CD.方法同【例5】【例 16已知：Z1 = Z2, CD=DE, EF/AB,求证：EF=AC【例17如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在8C,AC上，RBM=CN, AM与BN交于Q点、。求NAQN的度数。先证明 ZABM g BCN (SAS)可得 NCBN= ZBAMZAQN=ZABQ+ZBAQVZBAM=ZCBN ZAQN=ZABQ+ZCBN即 ZAQN=ZABC = 60°作平行线:过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18：如图，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若 EB=CF0 求证：DE=DFo证明：过E作EGAC交BC于G,则 NEGB=NACB,又 AB=AC, ZB=ZACB,. ZB=ZEGB,. ZEGD= ZDCF,EB=EG=CF, ZEDB=ZCDF, DGE DCF,联结BD证明：CF平分NBCDZBCF=ZDCFBCF 和4DCF 中"BC=CD< ZBCF=ZDCFCF=CFBCF g DCF (SAS)BF=DF(2) VAD/7BCZADB=ZCBD., BC = DCZCBD=ZCDBADDE=DFo【例19己知：如图，在四边形ABCD中，AD7BC, BC = DC, CF平分/BCD, DFAB, BF的延长线交DC 于点 E. 求证：(1) aBFCgDFC (2) AD = DE.ZADB=ZCDBVDFABZABD=ZBDFBF=DFZFDB=ZFBDZABD=ZFBD在4ABD和4EBD中'ZABD=ZEBD< BD=BD、ZADB=ZEDBABD g EBD (ASA)：.AD = DE【课堂练习】1 .如图，已知AE平分NBAC, AE垂直于BE,且EDAC, ZBAE=36o ,那么NBED=2 .如图：BE±AC, CF1AB, BM=AC, CN=ABo 求证：(1) AM=AN； (2) AM±ANo第27 (a)题图（b）中综合题:已知在4ABC中，ZABC = 45° ,高AO所在的直线与高的所在的直线交于点尸，过点尸作FG3C,交直线AB于点G,联结。尸.（1）当 ABC是锐角三角形时（如图a所示），求证：AD = FG+CD（2）当NB4C是钝角时（如图b所示），写出线段A。、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,直接写结论； 当BE=FE, BD=4时,求FG的长.可知 4FDC和4AFG都为等腰直角三角形.,.FD=DC AF =FG,. AD=AF÷FDAD=FG+DCABD和4AFG都为等腰直角三角形ADC g BDFDC = FDFD=AF +ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
