中值定理与导数的应用0.docx

第三章中值定理与导数的应用§1中值定理必作习题P166 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10必交习题一、证明：当 x>l 时，ex > eo二、证明方程/+工一 1 二 0只有一个正根。三、设/（办g（x）在G。上连续,在（,力内可导,证明在（,加内有一点久 使得八。)/0)g() gS)= (b-a)f(a) ff()g(G g'C)四、证明：若函数(x)在(8,+oo)内满足关系式'(x) = (x),且/(0) = 1,则(x) = e )五、设函数y = (x)在x = 0的某邻域内具有阶导数，且(0) = 1(0) = = 5T)(0),试用柯西中值定理证明： 巫 =/避侬),o<e<x" nP1711 (2) (4) (5) (7)(11)(13)(15), 2求下列极限cos(sinx)-l(1) lm =3x2洛必达法则必作习题必交习题(2) x-arcsinxlm =° sin3 xr In cos(x-l)(3) lm Lai 1 -sin jx(4) lim ln(x-l)-xcoty1- =/ l 、 1. zarcsin x(5) lim (y =o x(6)limx0+/+】+ J(:)xab + c§3 泰勒公式必作习题P177 1, 2, 3必交习题一、求函数(x) = tanx的二阶麦克劳林公式。二、求函数(x) = xcM阶麦克劳林公式。三、当x()=4时，求函数y = J7的三阶泰勒公式。四、当今=1时.，求函数(x) = /in的阶泰勒公式。§5函数的极值及其求法必作习题§4函数单调性的判定法必作习题P182 1, 2, 3(1)(2) (4) (5), 4(1)(3), 5必交习题一、确定下列函数的单调区间：(1) y = 2x2-nx(2) y = y(2x-a)(a-x)2,( > 0)二、证明：当 x>0时，l + xln(x +J1 + /) > Jl + x?；三、设在加上"(x)>0,证明函数(x)= "")一在(。,勿上是单调增加的。x-aP189 1 (3) (4) (6) (7)(12), 2必交习题一、求下列函数的极值：(1) y = >3 arctanx - 2arctan- ；3(2) y = ex cosx； x (0,2r)(3) y = (2x-5)V1ji二、试问。为何值时，函数(x) = sinx+Sin3x在x = 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值。三、讨论方程lnx = r(其中。0)有几个实根?§6最大值、最小值问题必作习题P1941 (3), 4, 5, 7, 9必交习题一、求函数/（X）= / _ 2/ + 5在-2,2上的最大值与最小值。二、设 (x) =/1x(1 -九)"( N),求(1)f(x)在0,1上的最大值M();(2) lim M(n)n§7曲线的凹凸与拐点必作习题三、要造一圆柱形油罐，体积为V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小?这时底直径与高之比是多少？四、从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（图见P95的图319）,问留下的扇形的中心角夕取多大时，做成的漏斗的容积最大？P2001 (3) (4), 2(2) (4), 3(1)必交习题一、求曲线y = (i21nx-7)的拐点及凹凸区间。二、试决定y = Z(-3)2中攵的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。ex +ey 三、利用函数图形的凹凸性证明不等式：>«2 (y).2四、设y = f(x)在x = 的某邻域内具有三阶连续导数，如果'(0) = 0, "(%) = O,而/Mx。)。，试问x = x°是否为极值点？为什么？又(x°,(%)是否为拐点？为什么？§8函数图形的描绘§9必作习题曲率P2061, 3； P2171, 2, 3, 4必交习题一、描绘下列函数的图形：(1) y = eT)2(2) y = x2 +-X二、对数曲线y = lnx上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。y2三、证明曲线y = ch在点处（x,y）的曲率半径为一。y2三、证明曲线y = ch在点处（x,y）的曲率半径为一。y2三、证明曲线y = ch在点处（x,y）的曲率半径为一。